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CAPÍTULO 3: GEOMETRÍA

Este capítulo contiene problemas adecuados para usarse en un curso habitual de Geometría. Con la computadora, los estudiantes en la clase de Geometría pueden calcular áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos con gran exactitud; generar tripletas pitagóricas y explorar muchas áreas que eran inaccesibles antes.

1. Dados los tres lados ( A, B ) y ( C ), de un triángulo, encontrar los tres ángulos ( a, b ) y ( c ). Suponer que todos los ángulos son agudos.

2. Dada una medida angular mayor que ( 0° ) pero menor que ( 180° ), clasificar el ángulo como obtuso, recto o agudo.

3. Introducir ( D ), los grados de un ángulo agudo y calcular la medida de su complemento y suplemento.

4. Determinar el ángulo entre dos líneas que se intersecan.

5. Introducir las medidas de dos ángulos interiores opuestos en un triángulo. Determinar la medida de uno de los ángulos externos.

6. Introducir la medida del ángulo del vértice de un triángulo isósceles ( ABC ) con ( AB = AC ) y determinar la medida del ángulo de la base.

7. La distancia entre dos puntos ( A ) y ( B ) se define como ( |A - B| ). Escribir un programa para comparar ( |A - B| ) y ( |B - A| ). Usar las siguientes posiciones para ( A ) y ( B ) en los datos de prueba:

   • ( A = (12, -5), B = (-2, 9) )

8. Encontrar el área de cualquier rectángulo con la fórmula ( \text{Área} = l \times w ), donde ( l ) es la longitud y ( w ) es el ancho.

9. Encontrar el tercer lado de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras.

10. Determinar la longitud de la hipotenusa en cada uno de estos triángulos rectángulos: ( \triangle ARB, \triangle BRC, \triangle CRD, \triangle DRE, \triangle ERF ).

    D

11. Si un patrón de vestido requiere 3.5 yardas de tela de 45 pulgadas de ancho, ¿cuántos metros se necesitarán de una tela con 110 cm de anchura?

12. La suma de los ángulos de un triángulo es ( 180° ). Introducir dos ángulos ( A ) y ( B ) y calcular el valor del tercer ángulo ( C ). El programa debe verificar para un tercer valor que es cero o negativo y si cualquiera de ellos existe, imprimir el mensaje NO ES UN TRIÁNGULO.

13. Un teorema de Geometría fundamental se refiere a las medidas de los tres lados de un triángulo. El teorema establece que la suma de las medidas de los lados de un triángulo debe ser tal que la suma de las medidas de dos cualesquiera de los lados sea mayor que la medida del tercero. Hacer un programa que determine si tres números cualesquiera pueden ser las medidas de los lados de un triángulo.

14. Introducir tres números positivos ( X, Y ) y ( Z ). Determinar si pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo recto.

15. Hacer un programa que encuentre los tres ángulos de un triángulo, dados los tres lados.

16. Dados los tres lados de cualquier triángulo ( ABC ), calcular e imprimir el área de ese triángulo.

17. Introducir las longitudes de los lados de un triángulo. Determinar si el triángulo es isósceles, equilátero o escaleno.

18. Introducir las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y calcular el perímetro.

19. Introducir las longitudes de los lados de un triángulo. Encontrar el perímetro.

20. Introducir las longitudes de los tres lados de un triángulo y determinar el área.

21. Dados tres elementos cualesquiera de un triángulo, uno de los cuales debe ser un lado, calcular e imprimir el área.

22. Dados dos lados y el ángulo que forman en cualquier triángulo ( ABC ), calcular e imprimir su área.

23. Determinar el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles, dada la longitud de un cateto.

24. Introducir la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles y calcular la longitud de un cateto.

25. Introducir ( B ), la base y ( H ), la altura de un triángulo y determinar el área.

26. Snoopy, un gigante de otro planeta ha decidido invadir la Tierra y regresar luego a su propio planeta. Durante su visita, prefiere ocultar su identidad portando una máscara que le cubra la nariz y la boca. La máscara debe tener una altura ( h ) de 6.4 m y una base ( b ) de 14.3 m. Con la ecuación ( \text{ÁREA} = \frac{1}{2} \times b \times h ), escribir un programa para determinar los metros cuadrados que necesitará el gigante.

27. El área de un triángulo rectángulo es igual a dos veces su perímetro:

    [ \frac{1}{2} \times (A \times B) = 2 \times (A + B + C) ]

    Los lados del triángulo son enteros, cada uno menor que 100. Encontrar los lados del triángulo.

28. Introducir ( X ), la longitud de un lado de un triángulo equilátero y calcular su perímetro.

29. Determinar el perímetro de un triángulo rectángulo, dadas las longitudes de los catetos.

30. Determinar el perímetro de un triángulo rectángulo, dadas las longitudes de la hipotenusa y la de un cateto.

31. Introducir las longitudes de los lados de un triángulo y las longitudes de los tres lados correspondientes de un segundo triángulo. Determinar si los triángulos son semejantes.

32. Introducir las longitudes de los tres lados de un triángulo y las de los tres lados correspondientes de un segundo triángulo. Determinar si los triángulos son congruentes.

33. Se proporcionan como datos las coordenadas de los vértices de dos triángulos. Determinar si un triángulo está inscrito en el otro.

34. Encontrar el área de un triángulo dadas las coordenadas de los tres vértices.

35. La fórmula de Herón puede usarse para encontrar el área de cualquier triángulo, dadas las medidas de los tres lados. La fórmula es:

    [ \text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ]

    donde ( s = \frac{1}{2}(a + b + c) ). Encontrar el área de un triángulo cuyos lados sean 6, 8 y 10 m.

36. Con la fórmula de Herón, encontrar e imprimir los triángulos cuyas áreas sean enteras y cuyos lados sean enteros consecutivos menores que 1000.

37. Encontrar el área de cualquier cuadrado con la fórmula ( A = s^2 ).

38. Dada la longitud del lado de un cuadrado, calcular el área.

39. Dada la longitud de un lado de un cuadrado, calcular el perímetro.

40. Calcular el área superficial ( S ) de un prisma con dimensiones ( l, h ) y ( w ). En este problema, ( l = 10 ), ( h = 4 ) y ( w = 5.2 ) m.

41. Una pared con dimensiones de ( l = 0.50 ) y ( h = 1.10 ) m va a cubrirse con azulejos. Cada azulejo es un cuadrado de 11 cm por lado. ¿Cuál es el menor número de azulejos que se necesita?

42. Si una sala tiene dimensiones de 10 x 15 pies, ¿cuánto costará alfombrarla, si la alfombra cuesta $9 el metro cuadrado?

43. ¿Habrá algún cambio en el área de un rectángulo si se duplica su longitud y su anchura se divide entre dos?

44. Va a empapelarse una habitación. Sus dimensiones son 4.25, 5.60 y 2.80 m de anchura, largo y altura, respectivamente. En la habitación hay dos puertas de 1 x 2.30 m y una ventana de 1.50 x 2 m. ¿Cuántos metros cuadrados de papel se requerirán? (Recuerde que una habitación tiene cuatro paredes y que no se necesita papel para las puertas y la ventana).

45. Marlene decidió plantar un vivero rectangular de melón. ¿Cuántos metros de cerca necesitará si el vivero tiene dimensiones de 6.5 y 4.70 m?

46. Una cantante de Nueva Orleans habita en un departamento de 6 x 6 x 6 m.

¿Cuál es el volumen de su departamento? 47. Introducir las dimensiones de una piscina. Calcular el número de metros cúbicos de agua que puede contener. 48. Escribir un programa que determine cuántos sacos de arena se requerirán para llenar un cubo de volumen 0.50 metros cúbicos, si cada saco tiene 0.04 metros cúbicos. 49. Determinar el número de litros de líquido contenidos en un cubo de ( 1 ) m de lado. 50. El radio de la Tierra es de ( 3,958.8 ) millas. Encontrar el volumen de la Tierra.

Volumen = \( \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \)

donde \( \pi = 3.1416 \).

51. Encontrar el volumen de un cilindro con radio ( r = 4 ) m y altura ( h = 5.2 ) m. La fórmula del volumen es ( V = \pi \times r^2 \times h ).

52. Introducir las longitudes de las bases superior e inferior y la altura de un trapecio y determinar su área. La fórmula del área es:

    [ A = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h ]

    donde ( b_1 ) es la base mayor y ( b_2 ) la base menor del trapecio.

53. Encontrar el área de un círculo con la fórmula ( A = \pi \times r^2 ). Probar con los valores de radio: 1.25, 3, 5.9 y 100.

54. Determinar el perímetro de un círculo con la fórmula ( P = 2 \times \pi \times r ). Usar los siguientes valores de radio: 2, 5.2, 10, 6.89, 0.30 y 1.35.

55. Encontrar el volumen de un cono con radio ( r ) y altura ( h ). La fórmula del volumen es:

    [ V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h ]

    Probar con los valores ( r = 4.3 ), ( h = 7.2 ) y ( \pi = 3.1416 ).

56. Introducir las coordenadas de los extremos de una línea y determinar la longitud de la línea.

57. Introducir las coordenadas de un círculo y de un punto en su plano. Calcular la distancia desde el punto al centro del círculo.

58. Introducir las coordenadas de un punto cualquiera y determinar si ese punto está dentro de un círculo, sobre la circunferencia del círculo o fuera del círculo. Para probar su programa use las coordenadas del centro ( (0, 0) ) y ( r = 7 ).

59. Introducir las coordenadas del centro de un círculo y su radio, y calcular el área.

60. Introducir las coordenadas del centro de un círculo y el radio, calcular el perímetro.

61. Calcular la longitud de un arco subtendido por un ángulo de 90° en un círculo de radio 10 m.

62. Determinar el área de un sector en un círculo de radio ( r ), con un ángulo central ( \theta ), donde ( \theta = 45° ) y ( r = 3 ).

63. Escribir un programa que encuentre las coordenadas de los puntos de intersección de un círculo con una línea.

64. Hacer que la computadora genere un número al azar. Determinar la raíz cuadrada de ese número. El número se levantará al cuadrado y la raíz cuadrada del cuadrado se imprimirá.

65. Determinar los valores enteros de los catetos y de la hipotenusa que satisfacen el Teorema de Pitágoras. La hipotenusa debe ser menor de 100.

66. Encontrar todos los triángulos rectángulos tales que el perímetro y el área sean números enteros. Los lados deben ser menores de 1,000.

67. La longitud de un segmento de línea es ( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ). Usar las siguientes parejas de coordenadas para verificar su programa:

    ( (2, 5) ) y ( (9, 7) ); ( (0, 0) ) y ( (4, 5) ); ( (12, 7) ) y ( (12, 14) ); ( (-3, -4) ) y ( (7, 9) ).

68. La ecuación estándar de una circunferencia con centro en ( (h, k) ) y radio ( r ) es:

    [ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ]

    Escribir un programa para evaluar esta ecuación para varios valores de ( h ), ( k ) y ( r ).

69. Dado el radio de un círculo, determinar su área y su perímetro.

70. El área de un círculo es igual a su perímetro. Determinar el radio de ese círculo.

71. Determinar la distancia de un punto a una línea.

72. Introducir las coordenadas de tres puntos en el plano xy y determinar si son colineales.

73. Introducir las coordenadas de tres puntos en el plano xy. Determinar si forman un triángulo y de ser así, si es un triángulo rectángulo.

74. Usar el Teorema de Pitágoras para determinar la distancia desde el origen al punto con coordenadas ( (x, y) ) para ( x = 4 ) y ( y = 3 ).

75. Determinar si un triángulo es rectángulo usando solo los valores de sus lados.

76. Determinar el área de un triángulo formado por los puntos cuyas coordenadas son ( (x_1, y_1) ), ( (x_2, y_2) ), y ( (x_3, y_3) ). Usar la fórmula:

    [ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| ]

    En este ejemplo, usar ( (0, 0) ), ( (5, 0) ), ( (3, 4) ).

77. Introducir las coordenadas de tres puntos. Determinar si son vértices de un triángulo equilátero.

78. Un cuadrilátero es convexo si ninguno de sus ángulos interiores mide más de 180°. Determinar si un cuadrilátero es convexo.

79. Usar un punto ( (x, y) ) en el plano de coordenadas para determinar el ángulo agudo que forma la línea desde ( (0, 0) ) hasta ( (x, y) ) con el eje x.

80. Dado un punto en el plano, determinar el ángulo que forma la línea desde ese punto con el eje x.

81. Introducir las coordenadas de tres puntos. Calcular los ángulos de un triángulo con vértices en esos puntos.

82. Calcular el área y el perímetro de un polígono. Suponer que las coordenadas de sus vértices están en un arreglo.

83. Introducir las coordenadas de un punto. Determinar si está dentro, sobre o fuera de un polígono. Usar las coordenadas de los vértices en un arreglo.

84. Introducir las coordenadas de los vértices de un cuadrado y calcular su área.

85. Determinar el área de un cuadrado, dadas las coordenadas de dos vértices opuestos.

86. Escribir un programa para determinar si cuatro puntos son vértices de un cuadrado.

87. Escribir un programa que introduzca las coordenadas de los vértices de un cuadrado y calcule la longitud de la diagonal.

88. Dadas las coordenadas de los vértices de un cuadrado, encontrar el área de un círculo circunscrito.

89. Calcular el volumen de un tetraedro, dadas las coordenadas de sus vértices.

90. Calcular el volumen de un prisma, dadas las coordenadas de los vértices de la base y la altura.

91. Determinar el volumen de un cubo, dadas las coordenadas de sus vértices.

92. Introducir las coordenadas de los vértices de un paralelepípedo y calcular su volumen.

93. Determinar la longitud de la diagonal de un rectángulo, dadas las coordenadas de dos vértices opuestos.

94. Introducir las coordenadas de los vértices de un paralelepípedo y calcular la longitud de la diagonal.

95. Determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado, dadas las coordenadas de dos vértices opuestos.

96. Dadas las coordenadas de los vértices de un cubo, determinar la longitud de su diagonal.

97. Escribir un programa que introduzca las coordenadas de los vértices de un prisma y calcule la longitud de su diagonal.

98. Introducir las coordenadas de los vértices de un cubo y determinar el volumen de

un tetraedro inscrito. 99. Determinar el volumen de un cubo, dadas las coordenadas de un vértice y la longitud de su arista. 100. Escribir un programa que introduzca las coordenadas de un punto en el espacio y determine su distancia desde el origen. 101. Determinar la longitud de una línea que conecta dos puntos en el espacio. 102. Escribir un programa que introduzca las coordenadas de un punto en el espacio y determine si está en un plano. 103. Introducir las coordenadas de dos puntos y calcular la pendiente de la línea que los une. 104. Escribir un programa que determine la ecuación de la línea que pasa por dos puntos dados. 105. Introducir las coordenadas de tres puntos. Determinar si están en una línea recta. 106. Escribir un programa que determine si dos líneas son paralelas, dadas las coordenadas de sus extremos. 107. Introducir las coordenadas de los extremos de dos líneas y determinar si son perpendiculares. 108. Escribir un programa que determine la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada que pase por un punto dado. 109. Introducir las coordenadas de un punto y la ecuación de una línea, y determinar la distancia del punto a la línea. 110. Escribir un programa que determine si dos líneas son coincidentes, dadas sus ecuaciones.