Programar un problema estimula al estudiante a comprender lo que está haciendo, más que si solo confía en la lectura de problemas de muestra. Además, la computadora, al realizar los cálculos aritméticos, permite que el estudiante se concentre en el problema y en el método de solución, sin pérdida de tiempo.
La computadora no domina o decide el currículum, más bien sirve como auxiliar en la enseñanza para alcanzar las metas y objetivos propuestos, sobre los cuales se sustenta un programa de matemáticas moderno. Se ha tratado, por lo tanto, de seleccionar problemas que se encuentran normalmente en cursos de Álgebra elementales e intermedios.
En este capítulo se encontrarán problemas relacionados con desigualdades, oraciones verbales, potencias y raíces, funciones, gráficas, sistemas de ecuaciones lineales, polinomios, ecuaciones cuadráticas, números irracionales, exponentes, funciones circulares, números complejos, funciones exponenciales y logarítmicas, secuencias y series, programación lineal y otras áreas de los cursos de álgebra.
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Dada una desigualdad ( Ax + B > C ) (A, B, C son números reales), resolver para X. Por ejemplo, si la desigualdad es ( 4x + 14 > 34 ), imprimir ( x > 5 ).
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Encontrar el conjunto de soluciones de cualquier desigualdad de la forma ( ax^2 + bx + c < 0 ) para valores cualesquiera de a, b y c. Probar su programa con las siguientes desigualdades:
- ( x^2 + 12x + 35 < 0 )
- ( x^2 + x + 3 < 0 )
- ( -x + 3x + 2 < 0 )
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Evaluar la expresión racional: ( \frac{2ab + 3b^2 + b}{a^2b^3 - 368} ) donde ( a = 5 ) y ( b = 12 ). El problema deberá imprimir la respuesta en forma fraccionaria y decimal.
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Introducir un entero N positivo e imprimir el producto P de los cuatro enteros consecutivos ( N, N + 1, N + 2 ) y ( N + 3 ). ( P + 1 ) será un cuadrado perfecto.
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Encontrar la media aritmética de los números 60 y 68.
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Encontrar las raíces cuadradas de los enteros del 9 al 25. Imprimir el entero y su raíz cuadrada.
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Introducir dos enteros y sin multiplicarlos realmente, determinar si su producto es positivo, negativo o cero.
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Imprimir un número real N, su inverso aditivo y su inverso multiplicativo (si lo tiene).
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Calcular el cuadrado, cubo, raíz cuadrada y raíz cúbica de los enteros del 1 al 1,000, imprimir los resultados en forma tabular.
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Imprimir una tabla de valores para ( y = a^x ).
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Imprimir una tabla de cuadrados, cubos y raíces cuartas de los veinte primeros enteros.
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Encontrar la solución para la ecuación exponencial ( A^x = B ), donde ( A = 3 ) y ( B = 81 ).
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Dados los valores de las constantes a, b, c y d, y de la variable x, que se introducirán al programa, escribir un programa que calcule la función definida para:
- ( f(x) = ax^2 + bx + c ) si ( x < d )
- ( f(x) = 0 ) si ( x = d )
- ( f(x) = -ax^2 + bx - c ) si ( x > d )
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Para cada una de las siguientes parejas de números, encontrar el máximo común divisor: 60, 12; 35, 10; 28, 32; 65, 179; 210, 1036.
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Que la computadora genere parejas de enteros. Encontrar el máximo común divisor.
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Encontrar el máximo común divisor de un conjunto de tres números.
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Hacer que la computadora genere conjuntos de tres enteros y encontrar el máximo común divisor.
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Para cada una de las siguientes parejas de enteros, encontrar el mínimo común múltiplo: 25, 645; 132, 360; 192, 24.
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Generar parejas de enteros y encontrar el mínimo común múltiplo.
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Encontrar el mínimo común múltiplo de cinco números.
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Factorizar los siguientes trinomios:
- ( 6x^2 + 11x + 3 )
- ( 5x^2 + 31x + 6 )
- ( 10x^2 + 6x - 24 )
- ( 2x^2 - 41x - 336 )
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Factorizar el trinomio ( 3x^2 + 4x - 48 ) en factores primos.
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Dado el número de triunfos y derrotas de un equipo de béisbol, calcular su porcentaje de ganancias. Suponer que no hubo empates.
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Suponer que un artesano trabaja a razón de 75 centavos por hora hasta las 10 p.m. y de esa hora en adelante a razón de un dólar. Conocidas las horas en que comienza y termina de trabajar, calcular el costo de una noche de trabajo.
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La Cámara de Comercio de una ciudad está patrocinando una lotería numérica con billetes numerados del 1 al 1,500. Introducir un número de billete y verificar la lista de 12 números premiados para ver si el número introducido está entre ellos. Usar números al azar para seleccionar los 12 premiados.
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Esteban tiene algunos libros de historietas, exactamente tres veces más que Miguel y cuatro más que Laura. Entre los tres tienen menos de 200 libros. ¿Cuántos tendrá cada uno? Mostrar todas las posibilidades.
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Los jitomates cuestan 25 cts. por libra más que las papas. Si estas cuestan x cts. por libra, expresar el costo de 6 libras de papas y 3 de jitomates.
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Un granjero va al mercado con $100 para comprar 100 cabezas de ganado. Los precios son los siguientes: becerros, $10 c/u; cerdos, $3 c/u; pollos, $5 c/u. Adquiere 100 cabezas con sus $100. ¿Cuántas compró de cada una?
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Encontrar la velocidad a la que debe viajar una persona para alcanzar a otra que dejó el mismo lugar un cierto tiempo antes.
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Encontrar el tiempo que requiere una persona para alcanzar a otra si ambas parten en tiempos diferentes, con velocidades diferentes, pero viajan en la misma dirección.
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Una piscina rectangular mide 40 x 13 m. Una persona que está en la esquina A quiere ir a la C en el menor tiempo posible. Tiene las opciones de rodear la piscina, nadar en diagonal o combinar caminata con nado. Decide que el camino más rápido es la combinación. Su rapidez en carrera es de 1 m/seg y de nado 5 m/seg. Encontrar la distancia nadada y la distancia corrida para ir de A a C en el menor tiempo. El programa debe dar la distancia corrida, la distancia nadada y el tiempo mínimo.
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Resolver el siguiente problema: un bote navega a razón de 6 millas por hora en aguas tranquilas. Si necesita 4 h para recorrer 12 millas contra la corriente, determinar la rapidez de la corriente del río.
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Encontrar la distancia entre dos personas que parten del mismo punto al mismo tiempo, pero viajan en direcciones opuestas y con velocidades diferentes.
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Si cinco parejas de pájaros empollan 3 huevecillos hasta la madurez y mueren enseguida, dejando 15 pájaros para acoplarse y empollar también 3 huevos por pareja hasta la madurez, para morir luego, etc., ¿cuántos pájaros habrá al término de 5 años?
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Roberto hace 50% más trabajo que Guillermo y 25% más que Samuel. Trabajando juntos requieren 15 días para construir una piscina. Encontrar el tiempo que requeriría cada uno si trabajara solo.
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El propietario de una confitería no puede conceder un aumento a un dependiente, por lo que acuerdan el siguiente plan, sugerido por el empleado: “trabajaré de lunes a sábado durante tres semanas. El primer día me pagará un penique, el segundo dos centavos y el tercero cuatro centavos. Cada día me pagará el doble del anterior”. Encontrar un programa para encontrar la cantidad total que gana el dependiente durante las tres semanas.
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Ordenar los dígitos del 1 al 9, usando solo adición y sustracción, hasta completar 100. Por ejemplo:
- ( 1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100 )
- ( 12 + 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 89 = 100 )
Imprimir todas las combinaciones posibles.
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Un
camión carguero, completamente cargado, lleva suficiente gasolina para recorrer medio desierto. Si el camión puede regresar al punto de partida cuando es necesario, hacer un programa que determine la cantidad mínima de combustible requerida para cruzar todo el desierto. Suponer que cualquier cantidad de combustible puede retirarse del camión en cualquier punto del desierto y ocultarla y que allí permanecerá sin disminuir hasta que sea recogida posteriormente. 39. Calcular la presión sanguínea sistólica de personas cuyas edades son 25, 35, 47, 51.5 y 60. Usar la fórmula ( P = 100 \times \sqrt{A} ), donde A representa la edad. 40. Calcular la altura (h) para t segundos de un cuerpo lanzado hacia arriba a una velocidad inicial r: - ( h = rt - 16t^2 )
En este ejemplo, \( t = 2 \) y \( r = 32 \).
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Si dos ciudades están a 80 km una de otra y usted conduce a 90 km/h, ¿cuántos minutos necesitará para ir de una ciudad a otra?
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Una Liga de Fútbol Internacional arranca en competencia directa con la Liga Nacional de Fútbol. Usted adquiere una exención en la asociación formada recientemente y se le informa que su ganancia puede proyectarse para los 8 años próximos mediante la fórmula:
- ( p = t^3 - 5t^2 + 10t - 51 )
(p representa su ganancia y t el tiempo en años). En ( t = 0 ), cuando se compra la exención, ( p = -51 ). El costo de su exención es por lo tanto de $51,000, que es una ganancia negativa, lo que significa una pérdida. Determinar su ganancia o pérdida total para los 8 años acumulativos.
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El atleta estrella de la Escuela Secundaria de Medio Oeste lanza una pelota de fútbol, de béisbol y una medicinal hacia arriba. Una función cuadrática da la altura en metros respecto al tiempo en segundos como sigue:
- Fútbol: ( f(t) = -16t^2 + 43t + 8 )
- Béisbol: ( b(t) = -16t^2 + 100t + 12.5 )
- Pelota medicinal: ( m(t) = -16t^2 + 1.5t + 2 )
Imprimir el tiempo t en segundos y la altura de cada pelota después de t segundos, donde t es un entero entre 0 y 10 inclusive.
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Encontrar la potencia de una potencia; es decir, ( (a^m)^n ), donde ( a = 20 ), ( m = 3 ), ( n = 2 ).
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Calcular los valores de ( 2^2, 2^3, 2^4 ) y ( 2^5 ); ( 3^2, 3^3, 3^4 ) y ( 3^5 ); continuar así hasta ( 9^2, 9^3, 9^4 ) y ( 9^5 ).
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Cambiar el decimal periódico a fracción racional de la forma ( \frac{M}{N} ), donde M y N sean enteros.
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Probar un número para determinar si es primo. Imprimir PRIMO cuando lo sea y NO PRIMO cuando no lo sea.
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Determinar el valor absoluto de un número. Usar la función de valor absoluto.
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Introducir varios valores de A y B para probar la veracidad de la expresión ( |A + B| \leq |A| + |B| ).
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Resolver una ecuación de valor absoluto de la forma ( |X-A| = B ), donde A y B sean números reales.
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Imprimir los elementos de la función definida por ( f(x) = |x| ), para ( x = -8, -7, -6, ..., 7, 8 ).
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Evaluar la función ( y = \sqrt{x} ) cuando x toma valores enteros desde 1 a 10 inclusive.
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Encontrar la forma general de la ecuación lineal dada por las coordenadas de dos puntos (9, 7) y (5, 4) sobre la línea.
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Introducir la raíz real R. Determinar por sustitución si R es una raíz de la ecuación cuadrática ( Ax^2 + Bx + C = 0 ).
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Introducir un número real x. Si no es negativo imprimir la principal raíz cuarta de x. Si es negativo, imprimir el mensaje NINGUNA RAÍZ CUARTA REAL.
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Introducir A, B y C (números reales), coeficientes de la ecuación cuadrática ( Ax^2 + Bx + C ). Determinar si la ecuación tiene raíces reales. Imprimir uno de los mensajes: RAÍCES REALES o NINGUNA RAÍZ REAL.
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Introducir los números reales A, B y C, coeficientes de la ecuación cuadrática ( Ax^2 + Bx + C = 0 ). Determinar si la ecuación tiene una o más raíces reales. Si es así, calcularlas e imprimirlas.
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Dado un punto P(x, y), determinar la pareja ordenada del punto que es simétrico a P respecto al eje x.
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Encontrar donde cruza al eje de las x la recta representada por la ecuación ( y = 4x + 3 ).
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Trazar la curva ( y = x^2 ) desde ( x = -6 ) hasta ( x = 6 ). Rotular las escalas horizontal y vertical.
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Trazar la curva ( y = 4x^2 - 5x + 2 ), desde ( x = -3 ) hasta ( x = 5 ). Rotular las escalas horizontal y vertical.
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Encontrar los ceros de la función cuadrática ( f(x) = x^2 - 4x - 165 ).
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Encontrar el vértice de la función cuadrática ( f(x) = 3x^2 + 18x + 7 ).
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Evaluar el polinomio ( f(x) = 12x^2 + 6x + 8 ) cuando x toma valores desde 1 a 10, en saltos de 0.1.
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Dada la ecuación lineal ( AX + B = C ) (A, B y C son números reales) resolver para X. Por ejemplo, si la ecuación es ( 6X + 12 = 30 ), imprimir ( X = 3 ).
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Escribir un programa para evaluar la función definida por ( y = 3x^2 + 4x - 1 ) para x, donde ( -10 \leq x \leq 2 ), con x siendo entero.
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Encontrar todas las soluciones de ( 12x - 18y + 14 = 0 ) para ( x = 5, 10, 15, ..., 40 ).
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Encontrar todas las soluciones de ( 5x + y + 17 = 0 ), para ( x = -8, -2, -1.5, 2, 5, 6, 12, 15 ).
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Encontrar el vértice, eje de simetría y los ceros de la función cuadrática ( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 ).
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Factorizar un polinomio de la forma ( x^2 + bx + c ).
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Encontrar los ceros de la función ( y = x - \sqrt{x} ).
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Usar la fórmula cuadrática en su programa para resolver la ecuación ( 15x^2 - 23x + 41 = 0 ).
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Resolver la siguiente ecuación: ( 6x^2 - 17x + 5 = 0 ).
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Las dos raíces de una ecuación cuadrática ( ax^2 + bx + c = 0 ), pueden encontrarse por la fórmula:
[ \text{raíces} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Escribir un programa para encontrar e imprimir las raíces de unas entradas cualesquiera. Si ( b^2 - 4ac ) es negativo, imprimir DISCRIMINANTE NEGATIVO.
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Determinar si enteros cualesquiera de -10 a 10 son soluciones de ( x^3 + 2x^2 + 75 = 0 ).
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Cada una de las siguientes ecuaciones tiene dos soluciones reales. Imprimir una tabla que contenga los valores de a, b y c; las dos soluciones; la suma de las soluciones y el producto de ellas:
- ( x^2 - 3x - 54 = 0 )
- ( 2x^2 + x - 3 = 0 )
- ( 9x^2 + 45x - 18 = 0 )
- ( 21x^2 + 11x - 2 = 0 )
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La gráfica de ( 4x - y - 6 = 0 ) intersecta al eje Oy en el punto (0, -6); a este
punto se le llama la intersección y de la línea. La intersección x es el punto donde la línea corta al eje Ox; la coordenada y de este punto es, por supuesto, 0. La intersección x de esta línea es (1.5, 0). Hacer un programa para encontrar las intersecciones (x, y), de la línea representada por la ecuación ( 6x - y + 43 = 0 ). 78. Determinar las intersecciones x, y, para la ecuación ( 4x + 3y = 6 ). 79. Introducir las coordenadas de un punto y determinar si se encuentra sobre, arriba o abajo de la línea ( y = x ). El programa debe imprimir las siguientes coordenadas de puntos: (1, 1); (3, 4); (-3, -4); (-6, 7); (-5, 5); y (-1, 3). 80. Leer las coordenadas de un punto en el plano xy. Identificar el cuadrante donde se halla el punto, o si se encuentra sobre un eje, identificarlo. 81. Imprimir las ecuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares a la línea representada por ( 6x - 18y = 36 ), que pasa por el punto (-6, -2). 82. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, -2) y (-68, -15). 83. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (56, 16) y (-40, 1). 84. Determinar la ecuación de la recta descrita por la pendiente 3 y el punto sobre una recta (8, -4). 85. Imprimir la pendiente de la recta con una intersección y de (0, 10) y un punto (-3, 0). 86. Encontrar la pendiente y las intersecciones (x, y) de la gráfica de la ecuación ( 2x + 3y + 8 = 0 ). 87. Determinar la pendiente y la intersección y para cada una de las siguientes líneas: - ( 3x + y = 4 ) - ( x - y = 2 ) - ( 5x - 3y = 15 ) 88. Calcular la pendiente de una línea que pasa por dos puntos. Usar las siguientes parejas de puntos como datos de prueba: - (-3, -5) y (0, -2) - (-4, 6) y (8, -3) - (3, -5) y (3, 0) 89. Encontrar la pendiente de la línea que pasa por dos puntos dados en el plano de coordenadas. Incluir la posibilidad de que la pendiente sea indefinida. 90. Escribir un programa para introducir cuatro números; imprimir el inverso aditivo de cada uno, la suma de los cuatro y el inverso aditivo de la suma. 91. Un faro se localiza en las coordenadas (7.64, 12.12). Un bote, localizado inicialmente en (2.00, 0.35) se mueve en una dirección que lo llevará al faro. Después de un minuto, la posición del bote es (3.37, 1.87). Determinar las coordenadas (x, y) sobre la trayectoria del bote cuando la distancia de este al faro es un mínimo (con dos cifras decimales). 92. Introducir dos parejas de coordenadas. Encontrar la pendiente y la intersección y de la línea recta que contiene los puntos e imprimir los resultados como números racionales en sus mínimas expresiones. Si el resultado es negativo, hacer que el numerador sea el número negativo. 93. Introducir dos parejas ordenadas e imprimir la ecuación de la bisectriz perpendicular del segmento de línea determinado por esos puntos. 94. Introducir A, B y C para la parábola ( y = Ax^2 + Bx + C ), donde ( A \neq 0 ). Calcular la ecuación de la directriz y las coordenadas del foco. 95. Escribir un programa que trace la ecuación de la recta ( y = mx + b ). 96. Escribir un programa que calcule el rango para un dominio y graficar enseguida la función. Producir una solución para la función ( y = x^2 + 14x - 1 ). 97. Escribir un programa para graficar una parte de la función definida por ( y = 0.1x^2 - 0.2x ). 98. Encontrar la ecuación de una recta que sea bisectriz perpendicular de un segmento de recta, cuyas coordenadas extremas sean (2, 3) y (2, 9). 99. Encontrar la distancia desde una línea (representada por la ecuación ( x + 2y + 3 = 0 )) al punto (4, 5). 100. Encontrar las coordenadas X, Y para el punto que divide a un segmento de línea en una razón dada. Por ejemplo, encontrar las coordenadas del punto que divide al segmento de línea cuyos extremos son (0, -2) y (3, 7) en la razón 1:2. 101. La función entera máxima se denota con ( f(x) = \lfloor x \rfloor ). La función asocia a cada número real x con el entero más grande que no exceda a x. Encontrar el valor de la función entera máxima dado un argumento que sea positivo, negativo o cero. 102. Introducir los enteros positivos A y B y determinar el cociente y el residuo cuando A se divide entre B. 103. Calcular e imprimir el determinante de una matriz ( 2 \times 2 ). 104. Evaluar el determinante de segundo orden: [ \begin{vmatrix} 7 & 8 \ 42 & -73 \end{vmatrix} ] 105. Escribir un programa que utilice división sintética para encontrar el cociente y el residuo que se tienen cuando un polinomio se divide entre un polinomio lineal de la forma ( ax - b ). 106. Escribir un programa que realice división sintética. 107. Se dan dos ecuaciones de la forma: [ 4x + 5y = 17 \ 3x + 6y = 22 ]
Encontrar los valores de x, y.
- Introducir los coeficientes para el sistema de ecuaciones lineales ( Ax + By = C ) y ( Dx + Ey = F ). Determinar si se intersecan las gráficas. Si es así, ¿lo hacen en un punto o en una infinidad de puntos?
- Leer los coeficientes para el sistema de ecuaciones lineales ( Ax + By = C ) y ( Dx + Ey = F ). Determinar si las gráficas de las ecuaciones son perpendiculares.
- Introducir los coeficientes para el sistema de ecuaciones lineales ( Ax + By = C ) y ( Dx + Ey = F ). Determinar si las ecuaciones son consistentes o inconsistentes y dependientes o independientes.
- Imprimir si las siguientes ecuaciones lineales tienen o no la misma gráfica: - ( y = 7x + 9 ) - ( 3y - 21x = 12 )
- Imprimir si las líneas determinadas por las ecuaciones: - ( y = 5x + 19 ) - ( y = -4x - 19 )
son perpendiculares.
- Imprimir si las gráficas de las dos ecuaciones siguientes representan la misma recta, rectas paralelas o rectas que se intersecan en un punto: - ( 5x + y = 12 ) - ( 2y = -10x + 24 )
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: [ 3x + 4y - 6 = 0 \ 2x + 3y = 0 ]
- Resolver el sistema de ecuaciones lineales: [ 109x + 71y - 260 = 0 \ -89x + 29y + 18 = 0 ]
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: [ 3x - 5y - 2z - 5 = 0 \ -5x + 2y + 3z - 12 = 0 \ 2x + y + 0z - 5 = 0 ]
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: [ 2x + 4y - 5z - 3 = 0 \ 3x - 2y - 2z + 14 = 0 \ -4x + 5y + 3z + 10 = 0 ]
- Escribir un programa que resuelva las tres ecuaciones siguientes: [ x + 6y + 1 = 0 \ 2x - y + 5 = 0 \ -4x + 13y - 6 = 0 ] Sea ( x = 2, 4, 6, 8, ... 50 ).
- Encontrar el centro y radio de una circunferencia dada por la ecuación cónica ( x^2 + y^2 - 144 = 0 ).
- Encontrar el centro y radio de una circunferencia dada por la ecuación cónica ( x^2 + y^2 + 2x + 4y - 20 = 0 ).
- Encontrar el término enésimo y la suma de los N primeros términos de una progresión aritmética. Usar la fórmula ( L = A + (N-1)D ) para encontrar el último término y ( S = \frac{N}{2} (A + L) ) para encontrar la suma de los términos. En este ejemplo, ( A = 1, N = 2 ) y ( D = 3 ).
- Encontrar la suma de una serie aritmética ( A + (A + D) + (A + 2D) + ... + (A + (N-1)D) ), para valores dados de A, D y N.
- Determinar la suma de la serie ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^n ) para cualquier valor entero positivo en n.
- Encontrar la suma de una serie geométrica ( A + AR + AR^2 + ... + AR^{N-1} ), para valores de A, R y N.
- Calcular la suma de 120 términos en una serie aritmética. Usar la fórmula ( S = \frac{1}{2}n(n+1) ). En este problema ( n = 120 ).
- Introducir los 30 elementos de un arreglo A. Cambiar posiciones de los siguientes elementos: ( A(2) ) y ( A(16) ); ( A(5) ) y ( A(25) ); ( A(26) ) y ( A(12) ). Imprimir el arreglo.
- Calcular la suma, diferencia, producto y cociente de parejas de números complejos asignados como datos.