MFPCA

Multi-dimensional Functional Principal Component Analysis

Requirements:

1. Numpy
2. Scipy
3. Numba
4. Arrayfire

Note: You also need to have the ArrayFire C/C++ library installed on your machine.You can get it from the following sources.

• Download and install binaries

• Build and install from github

Usage:

假設有N組資料，d維度，為估計點在每個維度上的格點數量。

1. Lpr: 此函式為LLR的實現方法，其帶寬可由CV_Partition函式決定。

    Lpr(x, y, x0, h, binning = True, bin_weight = True, ker_fun = 'Epan', dtype = 'f4')
   

   • 參數輸入:
     • x : (N * d) 陣列，觀測點。
     • y : 元素個數為N的向量，觀測值。
     • x0 : 的陣列，估計點。
     • h : 元素個數為d的向量，由使用者輸入一代寬，此帶寬為估計時選用的帶寬。若要進行帶寬選擇，可呼叫CV_Partition函式來選取適當的帶寬。
     • binning : 布林值。選擇在進行LLR估計時，是否將資料合併到格點上，預設為True。
     • bin_weight : 布林值。當資料合併時，是否進行線性合併，預設為True。
     • ker_fun : 字串，預設為'Epan'。LLR估計時選用的核函數，僅提供Epanechnikov及高斯核函數。
       • 'Epan': Epanechnikov核函數，，其餘為0， 跟其他核函數相比，理論上此核函數估計最好。
       • 'Gaussian': 高斯核函數，， 當資料數少時建議選用此核函數。
     • dtype: 字串，預設為'f4'。在進行GPU通用運算時，由於雙浮點數計算速度較慢，因此提供此參數讓使用者選用計算時浮點數的精準度。
   • 參數輸出: 一組元素個數為的向量，依照輸入參數x0格點順序所得的函數點估計值。

2. CV_Partition: 此函式為選取帶寬的實現方法，用於LLR估計。

    CV_Partition(x, y, x0, h, n_train = None, binning = True, bin_weight = True, ker_fun = 'Epan')
   

   • 參數輸入:
     • x : (N * d) 陣列，觀測點。
     • y : 元素個數為N的向量，觀測值。
     • x0 : 的陣列，估計點。
     • h : (n * d)陣列，n為使用者樹入選取代寬的個數。
     • binning : 布林值。選擇在進行LLR估計時，是否將資料合併到格點上，預設為True。
     • bin_weight : 布林值。當資料合併時，是否進行線性合併，預設為True。
     • ker_fun : 字串，預設為'Epan'。LLR估計時選用的核函數，僅提供Epanechnikov及高斯核函數。
       • 'Epan': Epanechnikov核函數，，其餘為0， 跟其他核函數相比，理論上此核函數估計最好。
       • 'Gaussian': 高斯核函數，， 當資料數少時建議選用此核函數。
   • 輸出: 元素個數為d的向量，由輸入參數h裡所選取出使得均方誤差最小的帶寬。

3. Fpca:假設有N組觀測函數，每組觀測函數上有個點，維度為d維，為估計點在每個維度上的格點數量。

    Fpca(x, y, x0, h_mean, h_cov, h_cov_dia, fve = 0.85, binning = True, bin_weight = True, 
         ker_fun = 'Epan', bw_select = 'Partition', dtype = 'f4')
   

   • 參數輸入:
     • x : 元素個數為N的list，list裡面為( * d)陣列，觀測點。
     • y : 元素個數為N的list，list裡面為陣列，觀測值。
     • x0: 的陣列，估計點。
     • h_mean : (n * d)陣列，估計平均函數的候選帶寬。
     • h_cov : (n * 2d)陣列，估計共變異數函數的候選帶寬。
     • h_cov_dia : (n * d)陣列，估計誤差的變異數的候選帶寬。
     • fve : 0 到 1 之間的浮點數，在選取前K組特徵對時的準則，預設為0.85。
     • binning: 布林值。選擇在進行LLR估計時，是否將資料合併到格點上，預設為True。
     • bin_weight: 布林值。當資料合併時，是否進行線性合併，預設為True。
     • ker_fun: 字串，預設為'Epan'。LLR估計時選用的核函數，僅提供Epanechnikov及高斯核函數。
       • 'Epan': Epanechnikov核函數，，其餘為0， 跟其他核函數相比，理論上此核函數估計最好。
       • 'Gaussian': 高斯核函數，， 當資料數少時建議選用此核函數。
     • bw_select: 字串，預設為'Partition'。LLR選擇帶寬的準則。
       • 'Partition': 將資料切分成訓練集和驗證集，由驗證集估算均方誤差。
       • 'LeaveOneOut': 使用留一曲線交叉驗證法，只隨機抽出100條曲線做驗證，若觀測函數小於100時則全選取。
     • dtype: 字串，預設為'f4'。在進行GPU通用運算時，由於雙浮點數計算速度較慢，因此提供此參數讓使用者選用計算時浮點數的精準度。
       • 'f4':單精度浮點數。
       • 'f8':雙精度浮點數。
   • 輸出會產生fpca物件，其物件的成員變數有:
     • mean_fun: 陣列，由LLR估計的平均函數。
     • cov_fun: 陣列，由LLR估計的共變異數函數。
     • cov_dia: 陣列，由LLR估計在共變異數函數對腳線上的曲線。
     • num_eig_pairs: 正整數，由FVE選取的前$K$組特徵對。
     • eig_fun: 陣列，K = num_eig_pairs，經由變異數函數得到的前K組特徵函數。
     • fpc_scores: (N * K)陣列，K = num_eig_pairs，將函數投影在特徵函數上的主成份分數。
     • sigma2: 浮點數，為誤差變異數的估計值。
     • mean_bw: d維向量，估計平均函數時選用的帶寬。
     • cov_bw: 2 * d維向量，估計共變異函數時選用的帶寬。
     • cov_dia_bw: d維向量，估計誤差變異數時選用的帶寬。

• 成員函式: 此函式主要目的在於重建函數。由使用者輸入資料點與觀測值，藉由PACE估算主成份分數，再和已估算好的平均函數和特徵函數，將曲線重現。

    Restruct_Fun(x, y)
  

  • 輸入參數:
    • x : 元素個數為newN的list，list裡面為( * d)陣列，資料點，newN為使用者輸入進來的樣本函數個數。
    • y : 元素個數為N的list，list裡面為陣列，資料觀測值。
  • 輸出一個list，依照順序為:
    • fpc_scores: (N * K)陣列。將中心化後，投影在特徵函數上的主成份分數。
    • restruct_fun: 陣列。重現在格點上的函數。