day 21: readme todo

README.md

@@ -714,3 +714,38 @@ https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula
 观察给定的输入，可以发现 `rx` 仅依赖 `vd` ，而 `vd` 则依赖于 `rd bt fv` 和 `pr` ，`vd rd bt fv` 和 `pr` 都为 *Conjunction* 模块，所以如果 `rx` 要接收到低位，那么 `vd` 要发出低位，则 `vd` 的四个输入模块都必须发出高位，那么当 `rd bt fv` 和 `pr` 都发出高位时，`rx` 就能接收到低位。因为 rx 仅依赖于 `vd` ，那么求 `rx` 和求 `vd` 的求解空间应当是一样大的，所以就需要考虑 `vd` 依赖的四个模块，如果这四个模块存在一定的规律那么就可以将问题划分，减少求解空间。根据分析输入所得到的依赖关系，**利用代码计算这四个模块发出高位所需要的按键次数**，如果循环出现，那么说明存在规律，最后只需要计算四个模块发出高位次数的最小公倍数即是题解。
 
 虽然第二部分涉及的代码是同第一部分一致的，但是在**利用代码计算这四个模块发出高位所需要的按键次数**的时间点很重要，因为 vd 这四个模块，所以要在经过 vd 模块就检测这四个模块发出的高低位，如果在按完一次按钮的最后，再检测这四个模块，那就可能无法检测到这四个模块的状态变化。这个细节也是为何我虽然知晓求解方法，但是依旧耗费了不少时间的原因。
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+## Day 21(TODO)
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+### 第二部分
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+- 可以从一个位置进行上下左右的移动，要计算从位置 `S` 开始，经过 `step` 次移动，可以到达位置的数，令函数 `f(step)` 表示该问题
+- 同时令 `d(step)` 表示从从位置 `S` 开始，经过 `step` 次不回头的移动，可以到达位置的数
+    - 即从 `S` 出发的最短路径长度为 `step` 的路径数
+- 可以发现 `f(step) = d(step) + f(step -2)`
+    - 当从 `S` 出发经过 `step - 2` 次移动，如果剩余的 `2` 次移动允许回头，那么两次移动可以被消除（向左，再向右）
+    - 所以所有 `f(step -2)` 的终点都包含在 `f(step)` 中
+        - 同样的 `f(step - 4)` 被 `f(step - 2)` 包含
+    - 同时 `f(step - 1)` 中的任何终点都不可能被 f(step) 包含，因为其中的位置，只需要移动一次就可以成为 `f(step)` ，而移动一次却不可能实现原地不动
+- 如果网格中不存在任何的石头，那么 d(step) 的终点将是以 S 为中心的一个菱形的边，边上的任意位置与 S 的最短距离是曼哈顿距离
+- 根据 `f(step) = d(step) + f(step -2)`
+- 对于任意的偶数 `step` 有 `f(step) = d(step) + d(step - 2) + … + d(0)`
+- 对于任意的奇数 `step` 有 `f(step) = d(step) + d(step - 2) + … + d(1)`
+- 第二部分的网格是无限网格，所以就算知道 `f(step)` 的计算公式也不能减少多少计算量
+- 参考 Reddit 上的解法，通过求解二次函数的系数，确定二次函数，再计算最终结果即可。
+    - https://old.reddit.com/r/adventofcode/comments/18nevo3/2023_day_21_solutions/
+    - 实际的输入中，网格的四边都为空，同时起始点 `S` 位于的行和列都为空，那么从 `S` 到四边上位置的最短路径长度即是二者之间的曼哈顿距离
+    - 同时 `S` 位于网格的正中央，那么 S 到四角的最短距离长度刚好为网格的边长 `width`（长宽相等）
+    - 所以从一个网格的 `S` 出发，在上下左右四个方向移动网格边长的距离 `width`，就会抵达相邻网格的 `S`
+    - 当 S 移动 `width` 时 覆盖了 1 个原始网格
+    - 当 S 移动 `2 * width` 时 覆盖了 5 个原始网格
+    - 当 S 移动 `3 * width` 时 覆盖了 13 个原始网格
+    - 当 S 移动 `4 * width` 时 覆盖了 25 个原始网格
+        - [https://www.wolframalpha.com/input?i=quadratic+fit+{{1%2C+1}%2C+{2%2C+5}%2C+{3%2C+13}%2C+{4%2C+25}}](https://www.wolframalpha.com/input?i=quadratic+fit+%7B%7B1%2C+1%7D%2C+%7B2%2C+5%7D%2C+%7B3%2C+13%7D%2C+%7B4%2C+25%7D%7D)
+    - 网格的覆盖是随着移动的距离二次增长的
+- 第二部分要求计算移动距离 `26501365` 的位置个数
+- 输入网格边长为 `131`，恰好 `26501365 = 131 * 202300 + 65`
+- 可以计算出 65 次， 65 + 131 次 和 65 + 131 * 2 次移动距离时到达的位置数
+- 假设二次函数为 $f(x) = ax^2 + bx +c$ 且 $x = (step - 65) / 131$
+- 那么得到 f(0) , f(1) 和 f(2) 的值就可以计算出系数 a b c
+- 再计算 f(202300) 即是结果