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03-Laplace变换.typ

@@ -79,7 +79,7 @@ $
 
 线性的一个重要结果是正弦输入总是导致具有相同频率的正弦输出，只有振荡的幅度和相位会发生变化。
 
-使用 Euler 公式，正弦振荡可以用$e^(j ω t)$表示。若 LTI 系统的输入为$x(t) = e^(j ω t)$，则输出必须具有以下形式
+使用 Euler 公式，正弦振荡可用$e^(j ω t)$表示。若 LTI 系统的输入为$x(t) = e^(j ω t)$，则输出必须具有以下形式
 
 $
   y(t) = r ⋅ e^(j δ) ⋅ e^(j ω t) = G(j ω) ⋅ e^(j ω t)
@@ -102,15 +102,21 @@ Fourier 变换将时间信号表示为正弦波的总和，因此非常适合具
 
 $ F(s) H(s) = X(s) $
 
-其中，$F(s)$为输入的 Laplace 变换，$H(s)$为传递函数，$X(s)$为输出的 Laplace 变换。
+其中，$F(s)$为输入的 Laplace 变换，$H(s)$为传递函数，$X(s)$为输出的 Laplace 变换。展开写作
 
-== 与卷积
+$ ℒ[f(t)] = F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-s t) dd(t) $ <laplace>
+
+其中，$s = σ + ω i$。此时，函数的图像就从二维转换成了三维。
 
-Laplace 变换定义为
+当沿$σ = 0$（即沿$s = j ω$轴）求值时，Laplace 变换化简为
 
 $
-  F(s) = ℒ[f(t)] = ∫_0^(∞) f(t) e^(-s t) dd(t)
-$ <laplace>
+  F(s) = F(ω) = ∫_0^∞ f(t) e^(-j ω t) dd(t)
+$
+
+$F(j ω)$-$j ω$的图像即为$f(t)$的 Fourier 变换。
+
+== 与卷积
 
 由之前的卷积的定义
 
@@ -148,43 +154,67 @@ $
   $ ℒ (dv(y(t), t, n)) = s^n ℒ[y(t)] = s^n Y(s) $
 ]
 
-== 时域与频域
+== 与 Fourier 变换
 
-通过 Laplace 变换，将函数从时域转化至频域
+对 Fourier 变换
 
-$ f(t) F(s) $
+$
+  F(ω) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-j ω t) dd(t)
+$
 
-即
+令$s = j ω$，即可得 Laplace 变换
 
-$ ℒ[f(t)] = F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-s t) dd(t) $
+$ F(s) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-s t) dd(t) $
 
-得到复数
+由此，Fourier 变换为 Laplace 变换的一个特例，具有 Laplace 变换的所有性质。用 Fourier 变换只能处理正弦波 $e^(j ω t)$。而$s$为完全复数，这大大扩展了$e^(s t)$可以表示的函数种类。
 
-$ s = σ + ω i $
+Fourier 变换通常是从$−∞$开始定义的，但对于因果信号（即$x(t) = 0, t ≤ 0$），没有区别。换句话说，Fourier 变换是通过沿着$s$平面中的复轴$j ω$评估 Laplace 变换而获得的。
 
-此时，函数的图像就从二维转换成了三维。
+== 与 z 变换
 
-当$σ = 0$时
+Laplace 变换用于连续系统，而 z 变换用于离散系统：
 
 $
-  F(s) = F(ω) = ∫_0^∞ f(t) e^(-j ω t) dd(t)
+  X_d (z) = ∑_(n = 0)^∞ x_d (n T) z^(-n)
 $
 
-$F(j ω)$-$j ω$的图像即为$f(t)$的 Fourier 变换。
+定义$z = e^(s T)$，则 z 变换与采样的连续时间信号的 Laplace 变换成正比：
 
-== 与 Fourier 变换
+$
+  X_d (e^(s T)) = ∑_(n = 0)^∞ x_d (n T) e^(s n T)
+$
 
-对 Fourier 变换
+时域中$Δ$个样本的延迟对应于频域中$z^(−Δ)$的乘法：
 
 $
-  F(ω) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-j ω t) dd(t)
+  x(n − Δ) ↔ z^(−Δ) X(z), quad Δ ≥ 0
 $
 
-令$s = j ω$，即可得 Laplace 变换
+对于任意两个信号$x$和$y$，时域中的卷积对应于 z 域中的乘法：
 
-$ F(s) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-s t) dd(t) $
+$
+  x(t_i) ∗ y(t_i) ↔ X(z) · Y (z)
+$
+
+== 脉冲响应
 
-由此，Fourier 变换为 Laplace 变换的一个特例，具有 Laplace 变换的所有性质。用 Fourier 变换只能处理正弦波 $e^(j ω t)$。我们可以让$s$为完全复数，即$s = σ + j ω$，这将大大扩展了$e^(s t)$可以表示的函数种类。
+用$h(n)$表示离散系统的脉冲响应，定义线性时不变系统的传递函数$H(z)$等于脉冲响应 $h(n)$的 z 变换，即
+
+$
+  H(z) = Y(z) / X(z)
+$
+
+又 IIR 滤波器的一般差分方程为
+
+$
+  sum_(j = 0)^m a_j * y(n - j) = sum_(i = 0)^k b_i * x(n - i)
+$
+
+对两边进行 z 变换，并利用平移定理可得出
+
+$
+  H(z) = frac(Y(z), X(z)) = frac(b_0 + b_1 z^(-1) + ⋯ + b_M z^(-M), 1 + a_1 z^(-1) + ⋯ + a_N z^(-N)) = frac(B(z), A(z))
+$
 
 == 逆 Laplace 变换
 
@@ -201,20 +231,13 @@ $ <inv>
 
 == 收敛域
 
-Laplace 变换后，要保证
-
-- 分子 > $0$
-- 分子的每一部分都 > $0$
-\
-
-所以，还要加上关于$s$的收敛域（region of convergence，ROC）。如
+Laplace 变换后，要保证分子的每一部分都$0$，所以，还要加上关于$s$的收敛域（region of convergence，ROC）。如
 
 $
-  ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^∞ e^(-a t) e^(-s t) dd(t) = underbrace(∫_0^(+∞) e^(-(s + a))t) dd(t), 可 积
+  ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^∞ e^(-a t) e^(-s t) dd(t) = underbrace(∫_0^(+∞) e^(-(s + a))t) dd(t), ctext("可积")
 $
 
-$e^(-a t)$的 Laplace 变换存在的条件是上式的积分可积
-令$s = σ + j ω$
+$e^(-a t)$的 Laplace 变换存在的条件是上式的积分可积。令$s = σ + j ω$
 
 $
   ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^(+∞) e^(-a t) e^(-(σ + j ω)t) dd(t) = ∫_0^(+∞) e^(-(a + σ))t e^(-j ω t) dd(t)
@@ -345,8 +368,6 @@ $
 = 系统设计
 <系统设计>
 
-== 系统构型
-
 == 并行系统
 
 #figure(

04-时域响应分析.typ

@@ -8,68 +8,6 @@
   doc,
 )
 
-
-= 状态空间
-<状态空间>
-
-== 状态空间方程
-
-对弹簧阻尼系统
-
-$ m dot.double(x) + B dot(x) + k x = f(t) $
-
-选择状态变量，$z_1 = x$，$z_2 = x$。由此，得
-
-$ z ̇ = 1 / m u(t) - B / m z_2 - k / m z_1 $
-
-转化为矩阵形式
-
-$
-  dot(z) = A z + B u\
-  y = C z + D u
-$
-
-对原方程两端做 Laplace 变换，得
-
-$ m s^2 X(s) + B s X(s) + k X(s) = F(s) $
-
-结合状态空间方程，有
-
-$ G(s) = frac(X (s), F(s)) = frac(Y (s), U(s)) = frac(1, m s^2 + B s + k) $
-
-对状态空间方程两端做 Laplace 变换，得
-
-$
-  Z(s) = (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s)\
-  Y(s) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s) + D U(s)
-$
-
-由此，得
-
-$ G(s) = frac(Y(s), U(s)) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B + D $
-
-又
-
-$
-  s 𝑰 - 𝑨 = mat(delim: "[", s, 0; 0, s) - mat(delim: "[", 0, 1; - k/m, - B/m) = mat(delim: "[", s, - 1; k/m, s + B/m)
-$
-
-则
-
-$
-  (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) = (s 𝑰 - 𝑨)^*|s 𝑰 - 𝑨| =
-  frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s (s + B/m)) - (-1) k / m =
-  frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s^2 + B/m s + k/m)
-$
-
-代入可知，空间状态方程和传递函数是统一的。
-
-== 特征行列式
-
-- $G(s)$的极点：$G(s)$分母的根
-  - 决定系统的稳定性
-  - 数值上等于$𝑨$的特征值，即$|s 𝑰 - 𝑨|$的根
-
 = 矩阵指数函数
 
 == 推导
@@ -215,6 +153,8 @@ $
   ✓⁻：Lyapunov 稳定，见后续章节。
 ]
 
+其中，传递函数$G(s)$可用代数函数表示
+
 = 一阶系统
 <一阶系统>
 
@@ -226,13 +166,13 @@ $ G(s) = frac(a, s + a) $
 
 若输入为
 
-$ u(t) = cases(delim: "{", 0 & t = 0, 1 & t > 0) $
+$ u(t) = cases(delim: "{", 0 quad & t = 0, 1 & t > 0) $
 
 则
 
 $
-  ℒ[u(t)] &= ∫_0^(+∞) 1⋅e^(-s t) dd(t)\
-  &= -1 / s e^(-s t) bar.v_0^∞ = 1 / s
+  ℒ[u(t)] = ∫_0^(+∞) 1⋅e^(-s t) dd(t)
+  = -1 / s e^(-s t) bar.v_0^∞ = 1 / s
 $
 
 于是
@@ -415,6 +355,8 @@ $
 
 - 当$-1 < ζ < 0$或$ζ < - 1$，得到的解是发散的，图像与各自取符号后的图像趋势相反。
 
+= 关键点分析
+
 == 极点与零点
 <极点与零点>
 
@@ -475,6 +417,76 @@ $ x(t) = 1 - e^(-ζ ω_n t) sqrt(frac(1, 1 - ζ^2)) sin(ω_dd(t) + ϕ) $
 - 正弦函数$sin(ω_dd(t) + ϕ)$的频率为$w_d$（周期为$2π/w_d$）
 - $e^(-ζ ω_n t)$是一个衰减（单调递减）函数
 
+== 一般形式
+
+对于 LTI 系统，输入和输出在频域中具有简单的关系：
+
+$
+  Y(s) = G(s) ∗ X(s)
+$
+
+其中，传递函数$G(s)$可用代数函数表示
+
+$
+  G(s) = frac("num"(s), "den"(s)) = frac(n_0 * s^0 + n_1 * s^1 + n_2 * s^2 + ⋯, d_0 * s^0 + d_1 * s^1 + d_2 * s^2 + ⋯)
+$
+
+换句话说，指定分子和分母系数向量，可以唯一地表征传递函数。计算工具可以使用该符号来模拟此类系统对给定输入的响应。
+
+== 特征行列式
+
+对弹簧阻尼系统
+
+$ m dot.double(x) + B dot(x) + k x = f(t) $
+
+选择状态变量，$z_1 = x$，$z_2 = x$。由此，得
+
+$ z ̇ = 1 / m u(t) - B / m z_2 - k / m z_1 $
+
+转化为矩阵形式
+
+$
+  dot(z) = A z + B u\
+  y = C z + D u
+$
+
+对原方程两端做 Laplace 变换，得
+
+$ m s^2 X(s) + B s X(s) + k X(s) = F(s) $
+
+结合状态空间方程，有
+
+$ G(s) = frac(X (s), F(s)) = frac(Y (s), U(s)) = frac(1, m s^2 + B s + k) $
+
+对状态空间方程两端做 Laplace 变换，得
+
+$
+  Z(s) = (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s)\
+  Y(s) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s) + D U(s)
+$
+
+由此，得
+
+$ G(s) = frac(Y(s), U(s)) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B + D $
+
+又
+
+$
+  s 𝑰 - 𝑨 = mat(delim: "[", s, 0; 0, s) - mat(delim: "[", 0, 1; - k/m, - B/m) = mat(delim: "[", s, - 1; k/m, s + B/m)
+$
+
+则
+
+$
+  (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) = (s 𝑰 - 𝑨)^*|s 𝑰 - 𝑨| =
+  frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s (s + B/m)) - (-1) k / m =
+  frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s^2 + B/m s + k/m)
+$
+
+代入可知，空间状态方程和传递函数是统一的。其中，$G(s)$的极点，即是$G(s)$分母的根，其
+- 决定系统的稳定性
+- 数值上等于$𝑨$的特征值，即$|s 𝑰 - 𝑨|$的根
+
 = 性能分析
 <性能分析>
 

07-频域响应分析.typ

@@ -272,19 +272,28 @@ $ |G(j ω_i)|_(ω = ω_n sqrt(1 - 2 ζ^2)) = frac(1, 2 ζ sqrt(1 - ζ^2)) $
 == 由来
 <由来>
 
-对 LTI 系统的振幅响应和幅角响应绘图，得到
+20 世纪 30 年代，Hendrik Wade Bode 决定将增益绘制在双对数图上。这样做，$ω$轴的低频部分会被拉伸，从而提供系统频率行为的更清晰视图。
 
-- $20 lg M$-$ω$图，单位$"dB"$-$r a d/s$
-- $ϕ$-$ω$图，单位$deg$-$r a d/s$
+#figure(
+  table(
+    columns: (auto,) * 3,
+    inset: 0.4em,
+    align: center + horizon,
+    stroke: frame(rgb("000")),
+    [目标响应], [坐标], [坐标单位],
+    [振幅响应], [$20 lg M$～$ω$], [$"dB"$～$"rad"\/s$],
+    [幅角响应], [$ϕ$～$ω$], [$deg$～$"rad"\/s$],
+  ),
+  caption: "Bode 图构成",
+  supplement: [表],
+  kind: table,
+)
 
-#tip[
-  分贝（decibel），意为十分之一贝尔（Alexander Bell），最初用于度量电话/电报的噪声损失，定义为
-  $ "dB" = 10 lg P_M / P_R $
+分贝（decibel），意为十分之一贝尔（Alexander Bell），最初用于度量电话/电报的噪声损失，定义为
 
-  其中，$P_M$为测量功率，$P_R$为参考功率。
-]
+$ "dB" = 10 lg P_M / P_R $
 
-已知，功率是振幅平方的函数，即
+其中，$P_M$为测量功率，$P_R$为参考功率。又功率是振幅平方的函数，即
 
 $ P = f(M^2) $