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Seien $ X, Y $ \textbf{unabhängige} Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega, \mathfrak{A}, P) $.
%\renewcommand{\labelenumi}{\roman{\theenumi}}
\begin{enumerate}
\item
$ X=I_A, Y=I_B. $ Dann sind A und B unabhängig. \\
\begin{eqnarray*} E(XY) & = & E(I_A I_B) = E(I_{A\cap B}) \\
& = & P(A\cap B) = P(A)P(B) \\
& = & E(I_A)E(I_B) \\
& = & E(X)E(Y)
\end{eqnarray*}
\item
\[ 0 \leq X = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i I_{A_i} \]
mit paarweise verschiedenen $ \alpha_1 , ...,\alpha_m $ , paarweise disjunkten $ A_1 , ..., A_m , A_1\cap ...\cap A_m = \Omega $. \\
\[ 0\leq Y = \sum\limits_{j = 1}^n \beta_j I_{B_j} \]
mit paarweise verschiedenen $ \beta_1 , ...,\beta_n $ , paarweise disjunkten $ B_1 , ..., B_n , B_1\cap ...\cap B_n = \Omega $. \\
Dann ist \[ A_i = \{ X = \alpha_i \} , \,i = 1, ..., m \] \\
%Zeichnung #1
\[ B_j = \{ Y = \beta_j \} , \,j = 1, ..., n \] \\
und die Ereignisse $ A_i, 1 \leq i \leq m $, sind unabhängig von den Ereignissen $ B_1, ..., B_n $ . \\
\begin{eqnarray*}
E(XY) & = & E( \sum\limits_{i = 1}^m \sum\limits_{j = 1}^n \alpha_i \beta_j \underbrace{ I_{A_i} I_{B_j} }_\textrm{ $ = I_{A_i \cap B_j} $ }) \\
& = & \sum\limits_{i = 1}^m \sum\limits_{j = 1}^n \alpha_i \beta_j \underbrace{ P(A_i\cap B_j }_\textrm{ $ = P(A_i)P(B_j) $ } \\
& = & ( \sum\limits_{i = 1}^m \alpha_i P(A_i)) ( \sum\limits_{j = 1}^n \beta_j P(B_i)) \\
& = & E(X) E(Y)
\end{eqnarray*}
\item
Sei $ 0 \leq X, (X_n)_{n = 1}^\infty $ Folge von nicht negativen einfachen Zufallsvariablen $ X_n = f_n (X) $ der Form (ii) und sei $ 0 \leq Y, (Y_n)_{n = 1}^\infty $ Folge von nicht negativen einfachen Zufallsvariablen $ Y_n = g_n (Y) $ der Form (ii) mit $ x_n \leq X_{n + 1}, Y_n \leq Y_{n + 1}, n \in \mathbb{N} $ \\
\begin{eqnarray*}
X & = & \sup\limits_{ n \leftarrow \infty } X_n = \lim\limits_{ n \rightarrow \infty } X_n \\
Y & = & \sup\limits_{ n \leftarrow \infty } Y_n = \lim\limits_{ n \rightarrow \infty } Y_n,
\end{eqnarray*}
$ X_n, Y_n $ sind unabhängig. \\
Dann ist $ XY = \lim\limits{n \rightarrow \infty } X_n Y_n , X_n Y_n \leq X_{n+1} Y_{n+1} $ .
\begin{eqnarray*}
E(XY) & = & \lim\limits{n \rightarrow \infty } E(X_n Y_n) \\
& \mathop{=}\limits^{(ii)} & \lim\limits{n \rightarrow \infty } E(X_n ) E(Y_n ) \\
& = & \lim\limits{n \rightarrow \infty } E(X_n) \lim\limits{n \rightarrow \infty } E(Y_n) \\
& = & E(X) E(Y)
\end{eqnarray*}
\item
$ X = X^+ - X^- , Y = Y^+ - Y^- $ \\
$ E(X^+ ) < \infty , E(X^- ) < \infty , E(Y^+ ) < \infty , E(Y^- ) < \infty $ \\
$ XY = X^+ Y^+ - X^+ Y^- - X^- Y^+ + X^- Y^- $ \\
$ X^+ , X^- , Y^+ , Y^- $ sind unabhängig.
\begin{eqnarray*}
E(XY) & = & E(X^+ ) E(Y^+ ) - E(X^+ ) E(Y^- ) - E(X^- )E(Y^+ ) + E(X^- ) E(Y^- ) \\
& = & (E(X^+ ) - E(X^- ))(E(Y^- ) - E(Y^ )) \\
& = & E(X) E(Y)
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\textbf{Also}: Seien $ X, Y $ reelle undabhängige Zufallsvariablen.
\begin{enumerate}
\item $ X, Y \geq 0 \Rightarrow E(XY) = E(X) E(Y) $
\item
$ E(\vert X \vert ) < \infty $ \\ %Hier ist die Sache mit der Klammer :)
$ E(\vert Y \vert ) < \infty \Rightarrow E(\vert XY \vert ) < \infty $ und $ E(XY) = E(X) E(Y) $
\end{enumerate}
\textbf{Folgerung}: Sind $ X, Y $ \textbf{unabhängig} mit $ E(X^2 ) < \infty , E(Y^2 ) < \infty $ , so ist
\[ Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 \]
%Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht \rightarrow binomial verteilte Zufallsvariable \\
\textbf{Bemerkung} : Aus $ Cov(X,Y) = 0 $ folgt im Allgemeinen \textbf{nicht} $ X, Y $ unabhängig. \\
\textbf{Beispiel} dazu:
\begin{eqnarray*}
X_1 , X_2 \sim \mathfrak{B} (1, \frac{1}{2} ) \\ %unabhÀngig \\
X & = & X_1 + X_2 \sim \mathfrak{B} (2, \frac{1}{2} ) \\
Y & = & X_1 - X_2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
Cov(X, Y) & = & Cov(X_1 + X_2 , X_1 - X_2 ) \\
& = & E((X_1 + X_2 )(X_1 - X_2 )) - (E(X_1 ) + E(X_2 ))\underbrace{(E(X_1 ) - E(X_2 ))}_\textrm{ = 0 } \\
& \mathop{=}\limits^{3. Bin. Formel} & E(X_1^2 ) - E(X_1 X_2 ) + E(X_1 X_2 ) - E(X_2^2 ) \\
& = & E(X_1^2 ) - E(X_2^2 ) \\
& = & 0
\end{eqnarray*}
$ P(X = 1, Y = 0 ) = 0 \neq \frac{1}{4} = P(X = 1)P(Y = 0) $ \\
$ P(X = 1) = frac{1}{2} $ \\
$ P(Y = 0) = frac{1}{2} $ \\
\section{Ungleichungen}
\subsection{Satz} Seien $ X, Y $ reelle Zufallsvariablen mit $ E(X^2 ) < \infty $ , $ E(Y^2 ) < \infty $ . Dann gilt:
\[ E( \vert XY \vert ) \leq \sqrt{E(X^2 ) E(Y^2 )} \] (Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
\subsection{Beweis}
\begin{eqnarray*}
0 & \leq & (\vert X \vert - a\vert Y \vert )^2 \\
0 & \leq & E((\vert X \vert - a\vert Y \vert )^2 ) \\
& = & E(X^2 ) - 2aE(\vert X \vert \vert Y \vert ) + a^2 E(Y^2 ) \\
& := & f(a)
\end{eqnarray*}
ohne Einschränkung: $ E(Y^2 ) > 0 $ (Sonst ist $ P(Y=0)=1 $ , also auch $ E(\vert X \vert \vert Y \vert ) = 0 $
\begin{eqnarray*}
f'(a) = 2a E(Y^2 ) - 2E(\vert X \vert \vert Y \vert ) \mathop{=}\limits^{!} 0 \\
\Leftrightarrow a = a^* = frac{E(\vert X \vert \vert Y \vert)}{E(Y^2 )} \\
0 \leq f(a^*) & = & E(X^2 ) - 2\frac{E(\vert XY \vert )^2}{E(Y^2 )} + \frac{E(\vert XY \vert )^2}{E(Y^2 )^2} E(Y^2 ) \\
& = & E(X^2 ) - \frac{E(\vert XY \vert )^2}{E(Y^2 )} \\
\Rightarrow E(\vert XY \vert )^2 \leq E(X^2 )E(Y^2 ) \\
\Rightarrow E(\vert XY \vert ) \leq \sqrt{E(X^2 )E(Y^2 )}
\end{eqnarray*}
%Beweisende-KÀstchen
\subsection{Folgerung}
$ \vert E(XY) \vert \leq E(\vert XY \vert \leq \sqrt{E(X^2 )E(Y^2)} $
\subsection{Folgerung}
\begin{eqnarray*}
\underbrace{ \vert ([X-E(X)][Y-E(Y)]) \vert } & \leq & \sqrt{E([X-E(X)]^2 )E([Y-E(Y)]^2 )} \\
\vert Cov(X,Y) \vert & \leq & \sqrt{Var(X) Var(Y)}
\end{eqnarray*}
\subsection{Definition}
Seien $ X, Y $ relle Zufallsvariablen mit $ E(X^2 ) < \infty $ , $ E(Y^2 ) < \infty $ . Dann heiÃ?t
\[ \rho (X, Y) = \frac{Cov(X,Y}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]
\textbf{Korrelationskoeffizient} von X und Y. \\
$ \rho (X,Y) := 0 $ , falls $ Var(X) = 0 $ oder $ Var(Y) = 0 $ , also nur wenn eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeit 1 eine Konstante ist. \\
Einsicht: $ -1 \leq \rho (X, Y) \leq 1 $ . \\
%Es folgte ein mÃŒndliches Beispiel: Korrelation zwischen Rauchen und Lungenkrebs. Bekomme ich leider nicht mehr zusammen.
\subsection{Neuer Sinnabschnitt} %Ohne Titel :)
Seien $ X, Y $ reelle Zufallsvariablen mit $ E(X) = 0 = E(Y) $ und $ E(X^2 ) = 1 = E(Y^2 ) $ .
\begin{eqnarray*}
\inf\limits_{a, b \in \mathbb{R} } E((X-(\underbrace{aY+b}_\textrm{affin lineare Funktion von Y} ))^2 ) & = & \inf\limits_{a, b \in \mathbb{R} } [E(X^2 + a^2 Y^2 + 2abY + b^2 - 2X(aY+b))] \\
& = & \inf\limits_{a, b \in \mathbb{R} } [1 + a^2 - 1 + 0 + b^2 - 2aE(XY)] \\
& \mathop{=}\limits^{b=0} & \inf\limits_{a \in \mathbb{R} } (1 + a^2 - 2aE(XY)) \\
& \mathop{=}\limits^{a=a^*=E(XY)} & 1 + (E(XY))^2 - 2(E(XY))^2 \\
& = & 1 - (E(XY)) ^2 \\
& = & 1 - \rho (XY)^2
\end{eqnarray*}
\textbf{Allgemein}: X, Y reelle Zufallsvariablen. $ E(X^2 ) < \infty , Var(X) > 0 , Var(Y) > 0 $. \\
\textbf{Standardisieren}:
\begin{eqnarray*}
X^* & = & \frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\\
Y^* & = & \frac{Y-E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}}
\end{eqnarray*}
Dann: $ E(X^* )=E(Y^* ) =0 , E((X^{*})^2 )=E((Y^{*})^2 )=1 $ \\
\begin{eqnarray*}
\inf\limits_{a, b \in \mathbb{R} } E((X-(aY+b))^2 ) = ? \\
E((X-(aY+b))^2 ) & = & E((\sqrt{Var(X)}X^* + E(X) - (a\sqrt{Var(Y)}Y^* + aE(Y)+b))^2 ) \\
& = & Var(X) E(X^* - (\frac{ a \sqrt{Var(Y)}Y^* + aE(Y) + b - E(X) }{\sqrt{Var(X)}}))^2 ) \\
\frac{a\sqrt{Var(Y)}}{\sqrt{Var(X)}} = a^* , \frac{aE(Y)+b-E(X)}{\sqrt{Var(X)}} = b^* \\
& = & Var(X) E(X^* -(a^*Y^*+b^*))
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow \inf\limits_{a, b \in \mathbb{R} } E((X-(aY+b))^2) & = & Var(X)(1-\underbrace{\rho (X^*,Y^*)^2}_\textrm{$ = E(X^*Y^*)^2 $}) \\
& = & Var(X)(1-\rho (X,Y)^2)
\end{eqnarray*}
%<mÌndliche ergÀnzung vom prof>
Die bestmögliche Approximation von X durch eine affin lineare Funktion Y im quadratischen Mittel ist bestensfalls dieses Ergebnis. \\
Der Korrelationskeoffizient ist also ein Maß für den affin linearen Zusammenhang zwischen X und Y. \\
Eine perfekte Vorhersage für X ist möglich, falls Y bekannt (die Werte von X, Y müssen auf einer Gerade liegen). \\
%Skizze: positives Koordinatensystem, Achsen X und Y (Y steht an der X-Achse), mon. steigende linere Funktion eingezeichnet
Nur dieser Fall wird durch den Korrelationskoeffizienten abgedeckt, es ist aber auch so etwas möglich: \\
%Skizze: gleiches System wie obenn, nur statt linearer Funktion ist etwas sehr kurviges, monoton steigendes eingezeichnet
$ \Rightarrow $ Der Korrelationskoeffizient hat nicht so viel Bedeutung, wie man oft glaubt. \\
Beispiel für eine "Unsinnskorrelation": Anzahl der Störche, Zahl der Geburten :) \\
In der Presse sind "Korrelationen" meist (empirische) Schätzwerte.\\
%</mÌndliche ErgÀnzung vom Prof>
\subsection{Satz:}
Sei X eine reelle Zufallsvariable mit $ E(X^2) < \infty $ . Für jedes $ \varepsilon > 0 $ gilt:
\[ P(\vert X-E(X) \vert \geq \varepsilon ) \leq \frac{1}{\varepsilon^2}Var(X) \]
(Chebyshevsche Ungleichung)
\subsection{Beweis:} %"furchtbar elementar :)
\begin{eqnarray*}
Var(X) & = & E([X-E(X)]^2) \\
& \geq & E([X-E(X)]^2 I(\vert X-E(X)\vert \geq \varepsilon )) \\
& \geq & E(\varepsilon^2 I(\vert X-E(X)\vert \geq \varepsilon ) \\
& = & \varepsilon P(\vert X-E(X) \vert \geq \varepsilon )
\end{eqnarray*}
%Beweiskästchen
\subsection{Satz:}
Sei X eine reelle Zufallsvariable, $ f:[0,\infty ) \rightarrow [0, \infty ) $ monoton wachsend, $ \varepsilon > 0, f(\varepsilon )>0 $. Dann gilt
\[ P(\vert X \vert \geq \varepsilon ) \leq \frac{1}{f(\varepsilon )}E(f(\vert X \vert )) \]
(Markovsche Ungleichung).
\subsection{Beweis:}
\begin{eqnarray*}
E(f(\vert X \vert )) & \geq & E(\underbrace{f(\vert X \vert )}_\textrm{$ \geq \varepsilon $} I(\vert X \vert \geq \varepsilon ) \\
& \geq & f(\varepsilon )P(\vert X\vert \geq \varepsilon )
\end{eqnarray*}
%mÃŒndliche Bemerkung
Auf diese Weise lassen sich noch unzählige weitere Ungleichungen beweisen.\\
Mit Chebyshev kann man das Gesetz der groÃ?en Zahlen beweisen, das Grundlage für so gut wie alle Simulationsverfahren ist.
\subsection{Bemerkung zur letzten Vorlesung}
Fehlerkorrektur. $ X\sim \mathfrak{R}(a,b) $ Rechteckverteilung.
\[ Var(X) = \frac{1}{b-a} \int\limits_a^1 (x-\frac{a+b}{2})^2 dx \]
(Der Bruch vor dem Integral wurde vergessen).