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整数在计算机中的表示方式

计算机中的二进制

计算机采用的是二进制，二进制包括两个数码：0,1。

一位二进制数的可能取值有 2 个，k 位二进制数的可能取值就有 个。

在计算机中有多种数据类型，表示整数的数据类型就有好几种：

• 1 字节数，即 8 位二进制数，可能取值有 个；
• 2 字节数，即 16 位二进制数，可能取值有 个；
• 4 字节数，即 32 位二进制数，可能取值有 个；
• 8 字节数，即 64 位二进制数，可能取值有 个。

有符号整数和无符号整数

计算机中的数据类型包括有符号类型和无符号类型，有符号类型的整数称为有符号整数，无符号类型的整数称为无符号整数。

有符号整数中，最高位用于表示符号，因此最高位又称符号位。当最高位是 0 时表示 0 或正整数，当最高位是 1 时表示负整数。除了最高位以外的数位用于表示数字的大小。

无符号整数中，所有的数位都用于表示数字的大小，因此无符号整数不存在负数。

以 1 字节数为例，1 字节数包含 8位二进制数。

对于 1字节的有符号整数，当最高位是 0 时，1 字节数的取值范围是 0 到 127（即 ），当最高位是 1时，1 字节数的取值范围是 -128（即 ）到 −1。因此 1 字节的有符号整数的取值范围是 −128 到 127，即对于有符号的 8 位二进制数，取值范围是 到 。

对于 1 字节的无符号整数，可能的最小取值是 0，最大取值是 255（即 ），即对于无符号的 8 位二进制数，取值范围是 0 到 。

通过上述例子可以得到有符号整数和无符号整数的如下结论：

• 有符号整数的取值范围包括负整数、零与正整数，无符号整数的取值范围只包括零与正整数，不包括负整数；
• 在位数相同的情况下，有符号整数可以表示的最大值比无符号整数小了一半；
• 对于 k 位整数，有符号整数的取值范围是 到 ，无符号整数的取值范围是 0 到 。

原码、补码和反码

机器数和真值

在讲述原码、补码和反码的概念之前，需要先了解两个概念：机器数和真值。

一个数在计算机中的二进制表示形式称为这个数的机器数。机器数是有符号数，机器数的最高位是符号位，0 表示0或正数，1 表示负数。

以 8 位二进制数为例。十进制数 +10转换成二进制数是 00001010，十进制数 -10 转换成二进制数是 10001010。这里的 00001010 和 10001010 就是机器数。

因为机器数的最高位是符号位，所以机器数的形式值不一定等于真正数值。例如 10001010 的形式值是 138，真正数值是 −10，形式值和真正数值是不同的。为了加以区分，将机器数的真正数值称为机器数的真值。

例如，00000010 的真值是 +2，10000010 的真值是 −2。

原码、反码和补码的概念

原码

原码是机器数的符号位加上机器数的真值的绝对值，最高位是符号位，其余位表示数值。

以 8 位二进制数为例。+10 的原码是 00001010，−10 的原码是 10001010。

8 位二进制数的原码表示的最大值是 01111111，即十进制的 +127，最小值是 11111111，即十进制的 −127，因此 8 位二进制数的原码表示的取值范围是 −127 到 +127。

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

反码

反码在原码的基础上得到。

0和正数的反码与原码相同，负数的反码是将原码的除了符号位之外的每一位取反，取反即为将 0 变成 1 或将 1 变成 0。

以 8 位二进制数为例。

+10 的原码是 00001010，反码是 00001010；

−10 的原码是 10001010，反码是 11110101。

对于负数，反码的表示方式不直观，通常需要转换成原码才能计算其数值。

补码

补码在反码的基础上得到。

0 和正数的补码与原码、反码相同，负数的补码是在反码的基础上加 1 得到。

以 8 位二进制数为例。

+10 的原码是 00001010，反码是 00001010，补码是 00001010；

−10 的原码是 10001010，反码是 11110101，补码是 11110110。

对于负数，补码的表示方式不直观，通常需要转换成原码才能计算其数值。

计算机中的表示

至此，我们已经看到计算机中的有符号数的二进制表示有原码、反码和补码三种表示方法，这三种表示方法分别有什么优缺点呢？

人脑可以知道最高位是符号位，但是对于计算机而言，判断符号位将导致运算变得复杂，因此为了简化运算，人们想出了将符号位也参与运算的方法。

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式，但是原码存在两个问题：

• 同时存在 +0（即符号位和其余位都是 0）和 −0（即符号位是 1，其余位都是 0）的表示，虽然可以认为 +0 和 −0 是同一个数，但是 0 带符号是没有意义的，而且会导致有两个不同的原码都对应 0；
• 用原码进行减法运算，会导致错误的结果。

反码的引入，解决了原码的减法运算结果错误的问题，但是仍然没有解决同时存在 +0 和 -0 的问题。

补码的引入则同时解决了减法运算错误和同时存在 +0 和 -0 的问题，而且可以多表示一个最小值。在补码表示法中，不存在 -0 的情况。以 8位二进制数为例，0 的补码是 00000000，10000000 表示的是 -128，-128 没有原码和反码的表示（8 位二进制数的原码和反码能表示的最小值是 -127）。由此可见，补码不仅解决了原码和反码的问题，还可以多表示一个最小值。

由于补码具有上述优点，因此计算机采用补码进行运算。