From 6f4032a47bffc8012334f2f2282aef6826196f9a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: labuladong Date: Tue, 10 Mar 2020 19:33:48 +0800 Subject: [PATCH] update SUMMARY.md --- README.md | 8 +- SUMMARY.md | 8 +- ...22\345\275\222\350\257\246\350\247\243.md" | 254 ------------------ 3 files changed, 8 insertions(+), 262 deletions(-) delete mode 100644 "think_like_computer/\351\200\222\345\275\222\350\257\246\350\247\243.md" diff --git a/README.md b/README.md index 350adcc225..2c513b8de6 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -63,10 +63,10 @@ This command specifies the `english` branch and limit the depth of clone, get ri * [Sliding Window Algorithm](think_like_computer/SlidingWindowTechnique.md) * [Some Useful Bit Manipulations](think_like_computer/CommonBitManipulation.md) * [Russian Doll Envelopes Problem](think_like_computer/RussianDollEnvelopes.md) - * [Solve Permutation, Combination, Subset Problems by Backtracking](interview/Subset_Permutation_Combination.md) + * [Recursion In Detail](data_structure/RecursionInDetail.md) + * [Backtracking Solve Subset/Permutation/Combination](interview/Subset_Permutation_Combination.md) * [几个反直觉的概率问题](think_like_computer/几个反直觉的概率问题.md) * [洗牌算法](think_like_computer/洗牌算法.md) - * [Recursion In Detail](data_structure/RecursionInDetail.md) * IV. Dynamic Programming * [Classic DP: Edit Distance](dynamic_programming/EditDistance.md) @@ -79,9 +79,9 @@ This command specifies the `english` branch and limit the depth of clone, get ri * [Greedy: Interval Scheduling](dynamic_programming/IntervalScheduling.md) * [4 Keys Keyboard](dynamic_programming/FourKeysKeyboard.md) * [What is DP Optimal Substructure](dynamic_programming/OptimalSubstructure.md) + * [Longest Increasing Subsequence](dynamic_programming/LongestIncreasingSubsequence.md) + * [KMP Algorithm In Detail](dynamic_programming/KMPCharacterMatchingAlgorithmInDynamicProgramming.md) * [动态规划详解](dynamic_programming/动态规划详解进阶.md) - * [动态规划设计：最长递增子序列](dynamic_programming/动态规划设计：最长递增子序列.md) - * [KMP](dynamic_programming/KMPCharacterMatchingAlgorithmInDynamicProgramming.md) * [团灭 LeetCode 股票买卖问题](dynamic_programming/团灭股票问题.md) * [团灭 LeetCode 打家劫舍问题](dynamic_programming/抢房子.md) diff --git a/SUMMARY.md b/SUMMARY.md index 5f26de5788..ea296812df 100644 --- a/SUMMARY.md +++ b/SUMMARY.md @@ -50,10 +50,10 @@ * [Sliding Window Algorithm](think_like_computer/SlidingWindowTechnique.md) * [Some Useful Bit Manipulations](think_like_computer/CommonBitManipulation.md) * [Russian Doll Envelopes Problem](think_like_computer/RussianDollEnvelopes.md) - * [回溯算法团灭排列、组合、子集问题](interview/子集排列组合.md) + * [Recursion In Detail](data_structure/RecursionInDetail.md) + * [Backtracking Solve Subset/Permutation/Combination](interview/Subset_Permutation_Combination.md) * [几个反直觉的概率问题](think_like_computer/几个反直觉的概率问题.md) * [洗牌算法](think_like_computer/洗牌算法.md) - * [递归详解](think_like_computer/递归详解.md) * IV. Dynamic Programming * [Classic DP: Edit Distance](dynamic_programming/EditDistance.md) @@ -66,9 +66,9 @@ * [Greedy: Interval Scheduling](dynamic_programming/IntervalScheduling.md) * [4 Keys Keyboard](dynamic_programming/FourKeysKeyboard.md) * [What is DP Optimal Substructure](dynamic_programming/OptimalSubstructure.md) + * [Longest Increasing Subsequence](dynamic_programming/LongestIncreasingSubsequence.md) + * [KMP Algorithm In Detail](dynamic_programming/KMPCharacterMatchingAlgorithmInDynamicProgramming.md) * [动态规划详解](dynamic_programming/动态规划详解进阶.md) - * [动态规划设计：最长递增子序列](dynamic_programming/动态规划设计：最长递增子序列.md) - * [动态规划之KMP字符匹配算法](dynamic_programming/动态规划之KMP字符匹配算法.md) * [团灭 LeetCode 股票买卖问题](dynamic_programming/团灭股票问题.md) * [团灭 LeetCode 打家劫舍问题](dynamic_programming/抢房子.md) diff --git "a/think_like_computer/\351\200\222\345\275\222\350\257\246\350\247\243.md" "b/think_like_computer/\351\200\222\345\275\222\350\257\246\350\247\243.md" deleted file mode 100644 index 263b140bc7..0000000000 --- "a/think_like_computer/\351\200\222\345\275\222\350\257\246\350\247\243.md" +++ /dev/null @@ -1,254 +0,0 @@ -# 递归详解 - -首先说明一个问题，简单阐述一下递归，分治算法，动态规划，贪心算法这几个东西的区别和联系，心里有个印象就好。 - -递归是一种编程技巧，一种解决问题的思维方式；分治算法和动态规划很大程度上是递归思想基础上的（虽然动态规划的最终版本大都不是递归了，但解题思想还是离不开递归），解决更具体问题的两类算法思想；贪心算法是动态规划算法的一个子集，可以更高效解决一部分更特殊的问题。 - -分治算法将在这节讲解，以最经典的归并排序为例，它把待排序数组不断二分为规模更小的子问题处理，这就是 “分而治之” 这个词的由来。显然，排序问题分解出的子问题是不重复的，如果有的问题分解后的子问题有重复的（重叠子问题性质），那么就交给动态规划算法去解决！ - -## 递归详解 - -介绍分治之前，首先要弄清楚递归这个概念。 - -递归的基本思想是某个函数直接或者间接地调用自身，这样就把原问题的求解转换为许多性质相同但是规模更小的子问题。我们只需要关注如何把原问题划分成符合条件的子问题，而不需要去研究这个子问题是如何被解决的。递归和枚举的区别在于：枚举是横向地把问题划分，然后依次求解子问题，而递归是把问题逐级分解，是纵向的拆分。 - -以下会举例说明我对递归的一点理解，**如果你不想看下去了，请记住这几个问题怎么回答：** - -1. 如何给一堆数字排序？ 答：分成两半，先排左半边再排右半边，最后合并就行了，至于怎么排左边和右边，请重新阅读这句话。 -2. 孙悟空身上有多少根毛？ 答：一根毛加剩下的毛。 -3. 你今年几岁？ 答：去年的岁数加一岁,1999 年我出生。 - -递归代码最重要的两个特征：结束条件和自我调用。自我调用是在解决子问题，而结束条件定义了最简子问题的答案。 - -```c++ -int func(你今年几岁) { - // 最简子问题，结束条件 - if (你1999年几岁) return 我0岁; - // 自我调用，缩小规模 - return func(你去年几岁) + 1; -} -``` - -其实仔细想想，**递归运用最成功的是什么？我认为是数学归纳法。**我们高中都学过数学归纳法，使用场景大概是：我们推不出来某个求和公式，但是我们试了几个比较小的数，似乎发现了一点规律，然后编了一个公式，看起来应该是正确答案。但是数学是很严谨的，你哪怕穷举了一万个数都是正确的，但是第一万零一个数正确吗？这就要数学归纳法发挥神威了，可以假设我们编的这个公式在第 k 个数时成立，如果证明在第 k + 1 时也成立，那么我们编的这个公式就是正确的。 - -那么数学归纳法和递归有什么联系？我们刚才说了，递归代码必须要有结束条件，如果没有的话就会进入无穷无尽的自我调用，直到内存耗尽。而数学证明的难度在于，你可以尝试有穷种情况，但是难以将你的结论延伸到无穷大。这里就可以看出联系了 —— 无穷。 - -递归代码的精髓在于调用自己去解决规模更小的子问题，直到到达结束条件；而数学归纳法之所以有用，就在于不断把我们的猜测向上加一，扩大结论的规模，没有结束条件，从而把结论延伸到无穷无尽，也就完成了猜测正确性的证明。 - -### 为什么要写递归 - -首先为了训练逆向思考的能力。递推的思维是正常人的思维，总是看着眼前的问题思考对策，解决问题是将来时；递归的思维，逼迫我们倒着思考，看到问题的尽头，把解决问题的过程看做过去时。 - -第二，练习分析问题的结构，当问题可以被分解成相同结构的小问题时，你能敏锐发现这个特点，进而高效解决问题。 - -第三，跳出细节，从整体上看问题。再说说归并排序，其实可以不用递归来划分左右区域的，但是代价就是代码极其难以理解，大概看一下代码（归并排序在后面讲，这里大致看懂意思就行，体会递归的妙处）： - -```java -void sort(Comparable[] a){ - int N = a.length; - // 这么复杂，是对排序的不尊重。我拒绝研究这样的代码。 - for (int sz = 1; sz < N; sz = sz + sz) - for (int lo = 0; lo < N - sz; lo += sz + sz) - merge(a, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + sz + sz - 1, N - 1)); -} - -/* 我还是选择递归，简单，漂亮 */ -void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { - if (lo >= hi) return; - int mid = lo + (hi - lo) / 2; - sort(a, lo, mid); // 排序左半边 - sort(a, mid + 1, hi); // 排序右半边 - merge(a, lo, mid, hi); // 合并两边 -} - -``` - -看起来简洁漂亮是一方面，关键是**可解释性很强**：把左半边排序，把右半边排序，最后合并两边。而非递归版本看起来不知所云，充斥着各种难以理解的边界计算细节，特别容易出 bug 且难以调试，人生苦短，我更倾向于递归版本。 - -显然有时候递归处理是高效的，比如归并排序，**有时候是低效的**，比如数孙悟空身上的毛，因为堆栈会消耗额外空间，而简单的递推不会消耗空间。比如这个例子，给一个链表头，计算它的长度： - -```java -/* 典型的递推遍历框架，需要额外空间 O(1) */ -public int size(Node head) { - int size = 0; - for (Node p = head; p != null; p = p.next) size++; - return size; -} -/* 我偏要递归，万物皆递归，需要额外空间 O(N) */ -public int size(Node head) { - if (head == null) return 0; - return size(head.next) + 1; -} -``` - -### 写递归的技巧 - -我的一点心得是：**明白一个函数的作用并相信它能完成这个任务，千万不要试图跳进细节。**千万不要跳进这个函数里面企图探究更多细节，否则就会陷入无穷的细节无法自拔，人脑能压几个栈啊。 - -先举个最简单的例子：遍历二叉树。 - -```cpp -void traverse(TreeNode* root) { - if (root == nullptr) return; - traverse(root->left); - traverse(root->right); -} -``` - -这几行代码就足以扫荡任何一棵二叉树了。我想说的是，对于递归函数`traverse(root)`，我们只要相信：给它一个根节点`root`，它就能遍历这棵树，因为写这个函数不就是为了这个目的吗？所以我们只需要把这个节点的左右节点再甩给这个函数就行了，因为我相信它能完成任务的。那么遍历一棵N叉数呢？太简单了好吧，和二叉树一模一样啊。 - -```cpp -void traverse(TreeNode* root) { - if (root == nullptr) return; - for (child : root->children) - traverse(child); -} -``` - -至于遍历的什么前、中、后序，那都是显而易见的，对于N叉树，显然没有中序遍历。 - - - -以下**详解 LeetCode 的一道题来说明**：给一课二叉树，和一个目标值，节点上的值有正有负，返回树中和等于目标值的路径条数，让你编写 pathSum 函数： - -``` -/* 来源于 LeetCode PathSum III： https://leetcode.com/problems/path-sum-iii/ */ -root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], -sum = 8 - - 10 - / \ - 5 -3 - / \ \ - 3 2 11 - / \ \ -3 -2 1 - -Return 3. The paths that sum to 8 are: - -1. 5 -> 3 -2. 5 -> 2 -> 1 -3. -3 -> 11 -``` - -```cpp -/* 看不懂没关系，底下有更详细的分析版本，这里突出体现递归的简洁优美 */ -int pathSum(TreeNode root, int sum) { - if (root == null) return 0; - return count(root, sum) + - pathSum(root.left, sum) + pathSum(root.right, sum); -} -int count(TreeNode node, int sum) { - if (node == null) return 0; - return (node.val == sum) + - count(node.left, sum - node.val) + count(node.right, sum - node.val); -} -``` - -题目看起来很复杂吧，不过代码却极其简洁，这就是递归的魅力。我来简单总结这个问题的**解决过程**： - -首先明确，递归求解树的问题必然是要遍历整棵树的，所以**二叉树的遍历框架**（分别对左右孩子递归调用函数本身）必然要出现在主函数 pathSum 中。那么对于每个节点，他们应该干什么呢？他们应该看看，自己和脚底下的小弟们包含多少条符合条件的路径。好了，这道题就结束了。 - -按照前面说的技巧，根据刚才的分析来定义清楚每个递归函数应该做的事： - -PathSum 函数：给他一个节点和一个目标值，他返回以这个节点为根的树中，和为目标值的路径总数。 - -count 函数：给他一个节点和一个目标值，他返回以这个节点为根的树中，能凑出几个以该节点为路径开头，和为目标值的路径总数。 - -```cpp -/* 有了以上铺垫，详细注释一下代码 */ -int pathSum(TreeNode root, int sum) { - if (root == null) return 0; - int pathImLeading = count(root, sum); // 自己为开头的路径数 - int leftPathSum = pathSum(root.left, sum); // 左边路径总数（相信他能算出来） - int rightPathSum = pathSum(root.right, sum); // 右边路径总数（相信他能算出来） - return leftPathSum + rightPathSum + pathImLeading; -} -int count(TreeNode node, int sum) { - if (node == null) return 0; - // 我自己能不能独当一面，作为一条单独的路径呢？ - int isMe = (node.val == sum) ? 1 : 0; - // 左边的小老弟，你那边能凑几个 sum - node.val 呀？ - int leftBrother = count(node.left, sum - node.val); - // 右边的小老弟，你那边能凑几个 sum - node.val 呀？ - int rightBrother = count(node.right, sum - node.val); - return isMe + leftBrother + rightBrother; // 我这能凑这么多个 -} -``` - -还是那句话，明白每个函数能做的事，并相信他们能够完成。 - -总结下，PathSum 函数提供的二叉树遍历框架，在遍历中对每个节点调用 count 函数，看出先序遍历了吗（这道题什么序都是一样的）；count 函数也是一个二叉树遍历，用于寻找以该节点开头的目标值路径。好好体会吧！ - -## 分治算法 - -**归并排序**，典型的分治算法；分治，典型的递归结构。 - -分治算法可以分三步走：分解 -> 解决 -> 合并 - -1. 分解原问题为结构相同的子问题。 -2. 分解到某个容易求解的边界之后，进行第归求解。 -3. 将子问题的解合并成原问题的解。 - -归并排序，我们就叫这个函数`merge_sort`吧，按照我们上面说的，要明确该函数的职责，即**对传入的一个数组排序**。OK，那么这个问题能不能分解呢？当然可以！给一个数组排序，不就等于给该数组的两半分别排序，然后合并就完事了。 - -```cpp -void merge_sort(一个数组) { - if (可以很容易处理) return; - merge_sort(左半个数组); - merge_sort(右半个数组); - merge(左半个数组, 右半个数组); -} -``` - -好了，这个算法也就这样了，完全没有任何难度。记住之前说的，相信函数的能力，传给他半个数组，那么这半个数组就已经被排好了。而且你会发现这不就是个二叉树遍历模板吗？为什么是后序遍历？因为我们分治算法的套路是 **分解 -> 解决（触底） -> 合并（回溯）** 啊，先左右分解，再处理合并，回溯就是在退栈，就相当于后序遍历了。至于`merge`函数，参考两个有序链表的合并，简直一模一样，下面直接贴代码吧。 - -下面参考《算法4》的 Java 代码，很漂亮。由此可见，不仅算法思想思想重要，编码技巧也是挺重要的吧！多思考，多模仿。 - -```java -public class Merge { - // 不要在 merge 函数里构造新数组了，因为 merge 函数会被多次调用，影响性能 - // 直接一次性构造一个足够大的数组，简洁，高效 - private static Comparable[] aux; - - public static void sort(Comparable[] a) { - aux = new Comparable[a.length]; - sort(a, 0, a.length - 1); - } - - private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) { - if (lo >= hi) return; - int mid = lo + (hi - lo) / 2; - sort(a, lo, mid); - sort(a, mid + 1, hi); - merge(a, lo, mid, hi); - } - - private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) { - int i = lo, j = mid + 1; - for (int k = lo; k <= hi; k++) - aux[k] = a[k]; - for (int k = lo; k <= hi; k++) { - if (i > mid) { a[k] = aux[j++]; } - else if (j > hi) { a[k] = aux[i++]; } - else if (less(aux[j], aux[i])) { a[k] = aux[j++]; } - else { a[k] = aux[i++]; } - } - } - - private static boolean less(Comparable v, Comparable w) { - return v.compareTo(w) < 0; - } -} -``` - -LeetCode 上有分治算法的专项练习，可复制到浏览器去做题： - -https://leetcode.com/tag/divide-and-conquer/ - - - - -坚持原创高质量文章，致力于把算法问题讲清楚，欢迎关注我的公众号 labuladong 获取最新文章： - -![labuladong](../pictures/labuladong.jpg)