From e600f498bbc315cbac15525546f4484e934df124 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ivaquero Date: Sat, 28 Dec 2024 21:18:54 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?docs:=20=F0=9F=93=9D=20update=20docs?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- "03-Laplace\345\217\230\346\215\242.typ" | 91 ++++++----- ...5\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" | 142 ++++++++++-------- ...5\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" | 27 ++-- 3 files changed, 151 insertions(+), 109 deletions(-) diff --git "a/03-Laplace\345\217\230\346\215\242.typ" "b/03-Laplace\345\217\230\346\215\242.typ" index 2491b66..c9af6f1 100644 --- "a/03-Laplace\345\217\230\346\215\242.typ" +++ "b/03-Laplace\345\217\230\346\215\242.typ" @@ -79,7 +79,7 @@ $ 线性的一个重要结果是正弦输入总是导致具有相同频率的正弦输出，只有振荡的幅度和相位会发生变化。 -使用 Euler 公式，正弦振荡可以用$e^(j ω t)$表示。若 LTI 系统的输入为$x(t) = e^(j ω t)$，则输出必须具有以下形式 +使用 Euler 公式，正弦振荡可用$e^(j ω t)$表示。若 LTI 系统的输入为$x(t) = e^(j ω t)$，则输出必须具有以下形式 $ y(t) = r ⋅ e^(j δ) ⋅ e^(j ω t) = G(j ω) ⋅ e^(j ω t) @@ -102,15 +102,21 @@ Fourier 变换将时间信号表示为正弦波的总和，因此非常适合具 $ F(s) H(s) = X(s) $ -其中，$F(s)$为输入的 Laplace 变换，$H(s)$为传递函数，$X(s)$为输出的 Laplace 变换。 +其中，$F(s)$为输入的 Laplace 变换，$H(s)$为传递函数，$X(s)$为输出的 Laplace 变换。展开写作 -== 与卷积 +$ ℒ[f(t)] = F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-s t) dd(t) $ + +其中，$s = σ + ω i$。此时，函数的图像就从二维转换成了三维。 -Laplace 变换定义为 +当沿$σ = 0$（即沿$s = j ω$轴）求值时，Laplace 变换化简为 $ - F(s) = ℒ[f(t)] = ∫_0^(∞) f(t) e^(-s t) dd(t) -$ + F(s) = F(ω) = ∫_0^∞ f(t) e^(-j ω t) dd(t) +$ + +$F(j ω)$-$j ω$的图像即为$f(t)$的 Fourier 变换。 + +== 与卷积 由之前的卷积的定义 @@ -148,43 +154,67 @@ $ $ ℒ (dv(y(t), t, n)) = s^n ℒ[y(t)] = s^n Y(s) $ ] -== 时域与频域 +== 与 Fourier 变换 -通过 Laplace 变换，将函数从时域转化至频域 +对 Fourier 变换 -$ f(t) F(s) $ +$ + F(ω) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-j ω t) dd(t) +$ -即 +令$s = j ω$，即可得 Laplace 变换 -$ ℒ[f(t)] = F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-s t) dd(t) $ +$ F(s) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-s t) dd(t) $ -得到复数 +由此，Fourier 变换为 Laplace 变换的一个特例，具有 Laplace 变换的所有性质。用 Fourier 变换只能处理正弦波 $e^(j ω t)$。而$s$为完全复数，这大大扩展了$e^(s t)$可以表示的函数种类。 -$ s = σ + ω i $ +Fourier 变换通常是从$−∞$开始定义的，但对于因果信号（即$x(t) = 0, t ≤ 0$），没有区别。换句话说，Fourier 变换是通过沿着$s$平面中的复轴$j ω$评估 Laplace 变换而获得的。 -此时，函数的图像就从二维转换成了三维。 +== 与 z 变换 -当$σ = 0$时 +Laplace 变换用于连续系统，而 z 变换用于离散系统： $ - F(s) = F(ω) = ∫_0^∞ f(t) e^(-j ω t) dd(t) + X_d (z) = ∑_(n = 0)^∞ x_d (n T) z^(-n) $ -$F(j ω)$-$j ω$的图像即为$f(t)$的 Fourier 变换。 +定义$z = e^(s T)$，则 z 变换与采样的连续时间信号的 Laplace 变换成正比： -== 与 Fourier 变换 +$ + X_d (e^(s T)) = ∑_(n = 0)^∞ x_d (n T) e^(s n T) +$ -对 Fourier 变换 +时域中$Δ$个样本的延迟对应于频域中$z^(−Δ)$的乘法： $ - F(ω) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-j ω t) dd(t) + x(n − Δ) ↔ z^(−Δ) X(z), quad Δ ≥ 0 $ -令$s = j ω$，即可得 Laplace 变换 +对于任意两个信号$x$和$y$，时域中的卷积对应于 z 域中的乘法： -$ F(s) = ∫_(-∞)^(+∞) f(t) e^(-s t) dd(t) $ +$ + x(t_i) ∗ y(t_i) ↔ X(z) · Y (z) +$ + +== 脉冲响应 -由此，Fourier 变换为 Laplace 变换的一个特例，具有 Laplace 变换的所有性质。用 Fourier 变换只能处理正弦波 $e^(j ω t)$。我们可以让$s$为完全复数，即$s = σ + j ω$，这将大大扩展了$e^(s t)$可以表示的函数种类。 +用$h(n)$表示离散系统的脉冲响应，定义线性时不变系统的传递函数$H(z)$等于脉冲响应 $h(n)$的 z 变换，即 + +$ + H(z) = Y(z) / X(z) +$ + +又 IIR 滤波器的一般差分方程为 + +$ + sum_(j = 0)^m a_j * y(n - j) = sum_(i = 0)^k b_i * x(n - i) +$ + +对两边进行 z 变换，并利用平移定理可得出 + +$ + H(z) = frac(Y(z), X(z)) = frac(b_0 + b_1 z^(-1) + ⋯ + b_M z^(-M), 1 + a_1 z^(-1) + ⋯ + a_N z^(-N)) = frac(B(z), A(z)) +$ == 逆 Laplace 变换 @@ -201,20 +231,13 @@ $ == 收敛域 -Laplace 变换后，要保证 - -- 分子 > $0$ -- 分子的每一部分都 > $0$ -\ - -所以，还要加上关于$s$的收敛域（region of convergence，ROC）。如 +Laplace 变换后，要保证分子的每一部分都$0$，所以，还要加上关于$s$的收敛域（region of convergence，ROC）。如 $ - ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^∞ e^(-a t) e^(-s t) dd(t) = underbrace(∫_0^(+∞) e^(-(s + a))t) dd(t), 可 积 + ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^∞ e^(-a t) e^(-s t) dd(t) = underbrace(∫_0^(+∞) e^(-(s + a))t) dd(t), ctext("可积") $ -$e^(-a t)$的 Laplace 变换存在的条件是上式的积分可积 -令$s = σ + j ω$ +$e^(-a t)$的 Laplace 变换存在的条件是上式的积分可积。令$s = σ + j ω$ $ ℒ[e^(-a t)] = ∫_0^(+∞) e^(-a t) e^(-(σ + j ω)t) dd(t) = ∫_0^(+∞) e^(-(a + σ))t e^(-j ω t) dd(t) @@ -345,8 +368,6 @@ $ = 系统设计 <系统设计> -== 系统构型 - == 并行系统 #figure( diff --git "a/04-\346\227\266\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" "b/04-\346\227\266\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" index 3472f59..759f0ca 100644 --- "a/04-\346\227\266\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" +++ "b/04-\346\227\266\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" @@ -8,68 +8,6 @@ doc, ) - -= 状态空间 -<状态空间> - -== 状态空间方程 - -对弹簧阻尼系统 - -$ m dot.double(x) + B dot(x) + k x = f(t) $ - -选择状态变量，$z_1 = x$，$z_2 = x$。由此，得 - -$ z ̇ = 1 / m u(t) - B / m z_2 - k / m z_1 $ - -转化为矩阵形式 - -$ - dot(z) = A z + B u\ - y = C z + D u -$ - -对原方程两端做 Laplace 变换，得 - -$ m s^2 X(s) + B s X(s) + k X(s) = F(s) $ - -结合状态空间方程，有 - -$ G(s) = frac(X (s), F(s)) = frac(Y (s), U(s)) = frac(1, m s^2 + B s + k) $ - -对状态空间方程两端做 Laplace 变换，得 - -$ - Z(s) = (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s)\ - Y(s) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s) + D U(s) -$ - -由此，得 - -$ G(s) = frac(Y(s), U(s)) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B + D $ - -又 - -$ - s 𝑰 - 𝑨 = mat(delim: "[", s, 0; 0, s) - mat(delim: "[", 0, 1; - k/m, - B/m) = mat(delim: "[", s, - 1; k/m, s + B/m) -$ - -则 - -$ - (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) = (s 𝑰 - 𝑨)^*|s 𝑰 - 𝑨| = - frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s (s + B/m)) - (-1) k / m = - frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s^2 + B/m s + k/m) -$ - -代入可知，空间状态方程和传递函数是统一的。 - -== 特征行列式 - -- $G(s)$的极点：$G(s)$分母的根 - - 决定系统的稳定性 - - 数值上等于$𝑨$的特征值，即$|s 𝑰 - 𝑨|$的根 - = 矩阵指数函数 == 推导 @@ -215,6 +153,8 @@ $ ✓⁻：Lyapunov 稳定，见后续章节。 ] +其中，传递函数$G(s)$可用代数函数表示 + = 一阶系统 <一阶系统> @@ -226,13 +166,13 @@ $ G(s) = frac(a, s + a) $ 若输入为 -$ u(t) = cases(delim: "{", 0 & t = 0, 1 & t > 0) $ +$ u(t) = cases(delim: "{", 0 quad & t = 0, 1 & t > 0) $ 则 $ - ℒ[u(t)] &= ∫_0^(+∞) 1⋅e^(-s t) dd(t)\ - &= -1 / s e^(-s t) bar.v_0^∞ = 1 / s + ℒ[u(t)] = ∫_0^(+∞) 1⋅e^(-s t) dd(t) + = -1 / s e^(-s t) bar.v_0^∞ = 1 / s $ 于是 @@ -415,6 +355,8 @@ $ - 当$-1 < ζ < 0$或$ζ < - 1$，得到的解是发散的，图像与各自取符号后的图像趋势相反。 += 关键点分析 + == 极点与零点 <极点与零点> @@ -475,6 +417,76 @@ $ x(t) = 1 - e^(-ζ ω_n t) sqrt(frac(1, 1 - ζ^2)) sin(ω_dd(t) + ϕ) $ - 正弦函数$sin(ω_dd(t) + ϕ)$的频率为$w_d$（周期为$2π/w_d$） - $e^(-ζ ω_n t)$是一个衰减（单调递减）函数 +== 一般形式 + +对于 LTI 系统，输入和输出在频域中具有简单的关系： + +$ + Y(s) = G(s) ∗ X(s) +$ + +其中，传递函数$G(s)$可用代数函数表示 + +$ + G(s) = frac("num"(s), "den"(s)) = frac(n_0 * s^0 + n_1 * s^1 + n_2 * s^2 + ⋯, d_0 * s^0 + d_1 * s^1 + d_2 * s^2 + ⋯) +$ + +换句话说，指定分子和分母系数向量，可以唯一地表征传递函数。计算工具可以使用该符号来模拟此类系统对给定输入的响应。 + +== 特征行列式 + +对弹簧阻尼系统 + +$ m dot.double(x) + B dot(x) + k x = f(t) $ + +选择状态变量，$z_1 = x$，$z_2 = x$。由此，得 + +$ z ̇ = 1 / m u(t) - B / m z_2 - k / m z_1 $ + +转化为矩阵形式 + +$ + dot(z) = A z + B u\ + y = C z + D u +$ + +对原方程两端做 Laplace 变换，得 + +$ m s^2 X(s) + B s X(s) + k X(s) = F(s) $ + +结合状态空间方程，有 + +$ G(s) = frac(X (s), F(s)) = frac(Y (s), U(s)) = frac(1, m s^2 + B s + k) $ + +对状态空间方程两端做 Laplace 变换，得 + +$ + Z(s) = (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s)\ + Y(s) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B U(s) + D U(s) +$ + +由此，得 + +$ G(s) = frac(Y(s), U(s)) = C (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) B + D $ + +又 + +$ + s 𝑰 - 𝑨 = mat(delim: "[", s, 0; 0, s) - mat(delim: "[", 0, 1; - k/m, - B/m) = mat(delim: "[", s, - 1; k/m, s + B/m) +$ + +则 + +$ + (s 𝑰 - 𝑨)^(-1) = (s 𝑰 - 𝑨)^*|s 𝑰 - 𝑨| = + frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s (s + B/m)) - (-1) k / m = + frac(mat(delim: "[", s + B/m, 1; - k/m, s), s^2 + B/m s + k/m) +$ + +代入可知，空间状态方程和传递函数是统一的。其中，$G(s)$的极点，即是$G(s)$分母的根，其 +- 决定系统的稳定性 +- 数值上等于$𝑨$的特征值，即$|s 𝑰 - 𝑨|$的根 + = 性能分析 <性能分析> diff --git "a/07-\351\242\221\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" "b/07-\351\242\221\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" index e364d9a..7592e11 100644 --- "a/07-\351\242\221\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" +++ "b/07-\351\242\221\345\237\237\345\223\215\345\272\224\345\210\206\346\236\220.typ" @@ -272,19 +272,28 @@ $ |G(j ω_i)|_(ω = ω_n sqrt(1 - 2 ζ^2)) = frac(1, 2 ζ sqrt(1 - ζ^2)) $ == 由来 <由来> -对 LTI 系统的振幅响应和幅角响应绘图，得到 +20 世纪 30 年代，Hendrik Wade Bode 决定将增益绘制在双对数图上。这样做，$ω$轴的低频部分会被拉伸，从而提供系统频率行为的更清晰视图。 -- $20 lg M$-$ω$图，单位$"dB"$-$r a d/s$ -- $ϕ$-$ω$图，单位$deg$-$r a d/s$ +#figure( + table( + columns: (auto,) * 3, + inset: 0.4em, + align: center + horizon, + stroke: frame(rgb("000")), + [目标响应], [坐标], [坐标单位], + [振幅响应], [$20 lg M$～$ω$], [$"dB"$～$"rad"\/s$], + [幅角响应], [$ϕ$～$ω$], [$deg$～$"rad"\/s$], + ), + caption: "Bode 图构成", + supplement: [表], + kind: table, +) -#tip[ - 分贝（decibel），意为十分之一贝尔（Alexander Bell），最初用于度量电话/电报的噪声损失，定义为 - $ "dB" = 10 lg P_M / P_R $ +分贝（decibel），意为十分之一贝尔（Alexander Bell），最初用于度量电话/电报的噪声损失，定义为 - 其中，$P_M$为测量功率，$P_R$为参考功率。 -] +$ "dB" = 10 lg P_M / P_R $ -已知，功率是振幅平方的函数，即 +其中，$P_M$为测量功率，$P_R$为参考功率。又功率是振幅平方的函数，即 $ P = f(M^2) $