game_theory.theory.txt

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n-person game :
  - représenté par une array de dimension n, "playoff matrix"
  - chaque dimension représente une action possible (uniformément aléatoire)
  - case représente gain/perte de combinaison d'actions
  - si valeurs de matrices sont seulement m, -m et 0, il s'agit d'un "zero-sum gam"
  - ex de 2-person zero-sum game :
    - J1 == "Joueur 1"
    - P/F/C == Pierre/Feuille/Ciseau
          J2
        P  F  C
     P  0 -1  1
  J1 F  1  0 -1
     C -1  1  0

  - choix d'une ou plusieurs colonnes par une dimension : "strategy"
    - "pure strategy"  : 100% sur une seule colonne
    - "mixed strategy" : % sur plusieurs colonnes
  - probablité de chaque case = multiplication de prob. de colonne sur chaque dimension
  - expected value pour un ensemble de strategies données : ∑ (P(case) * case)
    - peut être aussi calculée :
      - soit :
        - R la rows matrix des P des rows
        - C la column matrix des P des columns
        - P la playoff matrix
      - par R*P*C

Solving a game :
  - étant donné strategy d'une autre dimension, deviner strategy de dimension restante maximisant l'expected value
    - connait R ou C, et doit deviner le second, tel qu'expected value est maximisée
    - ex sur matrice 3*3, en connaissant C :
      [ x y z ] * [ . . . ] * [ . ] = [ x y z ] * [ . ] = .x + .y + .z
                  [ . . . ]   [ . ]               [ . ]
                  [ . . . ]   [ . ]               [ . ]
      Sum(x,y,z) = 1, et 0 <= x,y,z <= 1
      Donc il faut mettre 1 au terme ayant le plus grand coefficient et 0 aux autres
  - donc toujours une pure strategy est la réponse
    - donc si l'on souhaite minimiser expected value, en sachant qu'autre dimension cherchera à maximiser :
      - "minimax criterion"
      - "reduction by dominance" :
        - enlève de P les dimension-wise rows (DWR) dont chaque valeur est < un autre DWR ("domination")
        - fait pareil pour chaque dimension
        - puis :
          - si P restante est 2*2, et que dimension inconnue est R :
            - obtenir les équations de toute stratégy de C, sachant qu'il s'agit toujours de pure strategy :
              - [ x 1-x ] * [ . . ] * [ 1 ] = .x + .
                            [ . . ]   [ 0 ]
              - pareil avec [ 0 ] = .x + .
                            [ 1 ]
            - C choisira l'équation donnant max., donc pour minimiser -> choisir interesection des équations
              - soit résoudre .x + . = .x + .
              - x résultant est le minimax pour [ x 1-x ]
            - l'expected value du minimax de chaque dimension est toujours la même, il s'agit de l'"expected value of the game"
    - "maximax criterion" possible aussi, où l'on cherche alors max