calculus.theory.txt

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            


Deux branches :
  - differential calculus (dérivatives)
  - integral calculus (intégrales)

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Principe :
  - décrit le changement à un point précis d'une fonction
  - peut être représenté graphiquement comme une tangente à ce point précis
  - differenciation : trouver une dérivé à un point précis
  - differential = changement infinitésimal (dx ou dy par exemple)

Fonction linéaire :
  - dérivé appelée aussi slope
  - dérivé est la même partout
    - donc f'(x) est constant
    - donc on peut calculer avec tout differentiel, même non-infinitésimal : (x₂-x₁)/(y₂-y₁)
  - trouver équation linéaire ax + b à partir de deux points :
    - trouver slope a avec Δy/Δx, où change est différence entre deux points (y ou x)
    - pour un des deux points (x,y), b = y - ax

Notations :
  - Leibniz's notation :
    - soit dy/dx (Δy/Δx représente eux un changement non-infinitésimal)
    - f'(x) est noté d(f(x))/dx
    - f''(x) est noté d²(f(x))/dy²
  - Lagrange's notation / prime notation : f'(x), f''(x), etc., ou aussi f⁽ⁿ⁾(x) (f'(x) est f⁽¹⁾(x))
  - Euler's notation : Df(x), D²f(x), etc., ou aussi Dₓy, D²ₓy, etc.
  - Newtons's notation : Ė, Ë, etc.

Exponential constant:
  - also called Euler's number or Napier's constant
  - notation: ℮ or e
  - definitions:
     - d/dx e^x = e^x
     - lim(n->Inf) (1 + 1/n)^n
     - ∑(i = 0; Inf) 1/i!
  - transcendental number
  - e =~ 2.71828
  - exp(n):
     - exponential function
     - same as e^n

Dérivé :
  - change infinitésimal in x / change infinitésimal in y
  - ou f'(x) = lim(d->0) (f(x+d) - f(x))/d
    - cependant peut pas remplacer d par 0 souvent car division par 0
    - sauf certains cas où on remplace qu'à la fin :
      - ex : f(x) = x², pour x = 3 :
        - f'(x) = lim(d->0) ((3+d)² - 3)/d
                  lim(d->0) (9 + 6d + d² - 9)/d
                  lim(d->0) (6d + d²)/d
                  lim(d->0) 6 + d
                  lim(d->0) 6
  - et (f(x+d) - f(x) - f'(x)*d)/d = 0
  - et f(x+d) = f(x) + f'(x)*d

Differentiability :
  - si f(x) a une dérivé pour x = y, f(x) est dite differentiable à y
    - à certaines valeurs, certains f(x) ne sont pas differentiable
      - points non-continus :
        - lorsque changement radical
          - souvent le cas pour x = 0
            - ex :
              - |x|
              - x = y si x>=z (step function)
        - lorsque asymptote (tangente verticale) (dérivé serait ±∞ sinon -> undefined)
          - ex : ₃√x
    - dans ce cas, f'(x) est indéfinie à ces points (domaine de f'(x) < celui de f(x))
  - f(x) peut parfois être differentiable à y, mais f'(x) non
  - f(x) est dit differentiable si elle l'est à tout point
  - énième differentiability :
    - on dit que f(x) est n fois differentiable lorsque la énième dérivé n'est pas differentiable
    - une function étant infiniment differentiable est dite smooth function
      - les functions polynomiales sont toutes smooth
  - differentiability classes :
    - une function de classe C₀ est une function continue
    - une fonction de classe Cₙ est une fonction dont la énième dérivé est de classe C₀
    - les smooth functions sont de classe C∞

Dérivés courantes :
  - pour f(x) -> f'(x) (soit a, b et n constantes, x la variable, et X une expression comprenant un x) :
    - X            -> X'
    - X + b        -> X'
    - a*X          -> a*X'
    - xⁿ           -> nx^(n-1)
      - x          -> 1
      - (x^x)      -> x^x(1+ln(x))
    - n^ax         -> ln(n)*an^x (pour n < 0, dérivé est nombre complexe)
      - donc e^x   -> e^x
    - logₙ(x)      -> 1/(x*ln(n)) = logₙ(e)/x (où x != 0, n != 1) (pour n < 0, dérivé est nombre complexe)
      - donc ln(x) -> 1/x
      - donc ln(F) -> F'/F (cf chain rule)
    - sin(x)       -> cos(x)
    - cos(x)       -> -sin(x)
    - tan(x)       -> 1 + tan²(x)
    - arcsin(x)    -> 1/√(1-x²)
    - arccos(x)    -> -1/√(1-x²)
    - arctan(x)    -> 1/(1+x²)
    - examples :
      - ax  -> a
      - ax² -> a2x,    ax³  -> a3x²
      - 1/x -> -1/x²,  1/x² -> -2/x³
      - √x  -> 1/2√x   ₃√x  -> 1/3₃√x

Dérivative function :
  - f'(x) est la derivative function de f(x), donnant dérivé de f(x) pour chaque x
  - f'(x) est une fonction dont l'input est une autre fonction

High-order derivative :
  - f''(x) est la derivative function de f'(x), appelée second derivative de f(x)
  - f'''(x) est la third derivative de f(x)
  - ex : si f(x) est la position spatiale, f'(x) est la velocité, f''(x) l'acceleration et (moins connus) f'''(x) le jerk,
    et f''''(x) le jounce
  - la nième dérivate d'un function polynomiale de degré n est une constante

Points notables sur f(x) et f'(x) :
  - saddle-point, ou stationary point :
    - quand f'(x) = 0
  - critical point :
    - saddle-point ou point non differentiable
  - turning point :
    - saddle point, avec changement de signe de f'(x)
      - en d'autres termes, f(x) se met à monter/baisser, et non continue sa baissée/montée après un passage horizontal
  - inflection point :
    - délimite sections concaves vers le haut et vers le bas
    - quand accélération vers le haut ou bas diminue
    - correspond :
      - aux turning point de f'(x)
      - quand f'(x) se met à monter ou baisser
  - calculer saddle point ou inflection point d'une fonction : résoudre équation de f'(x) = 0 ou f''(x) = 0
  - cas connus :
    - saddle-point de ax² + bx + c = -b/2a

Differentiation rules :
  - soit F, G et H des fonctions
  - constant multiple rule / Kutz rule : (aF)' = a*F'
  - sum rule : (F + G)' = F' + G'
  - linear differentiation (conséquence) :
    - (aF + bG)' = aF' + bG', où a,b∈ R
  - product rule / Leibniz rule :
    - (FG)' = F'G + FG'
    - (FGH)' = F'GH + FG'H + FGH'
    - ex :
      - f(x) = x²sin(x)
        donc f'(x) = 2x*sin(x) + x²*cos(x)
  - quotient rule :
    - (F/G)' = (F'G - FG')/G², où G != 0
    - reciprocal rule :
      - (1/G)' = -G'/G², où G != 0
  - inverse rule :
    - F' = 1/(F⁻¹' ○ F)
      - soit f'(x) = 1/(f⁻¹'(f(x)))
    - ex : ln(x)' = 1/e^ln(x) = 1/x
  - chain rule :
    - f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)
      - autre notation : (F ○ G)' = (F' ○ G) * G'
    - (F ○ G ○ H)' = (F' ○ (G ○ H)) * (G ○ H)'
    - ex :
      - si f(x) = x³ et g(x) = x², et donc h(x) = f(g(x)) = x^6
      - alors f'(x) = 3x² et g'(x) = 2x
      - alors h(x)' = 3(x²)²*2x = 6x^5
  - power rule :
    - xⁿ' = nxⁿ⁻¹
    - generalized power rule :
      - (F^G)' = F^G(F'*G/F + G'ln(F))

Taylor's theorem :
  - décrit :
    - une fonction g(x), polynome de degré n, Taylor polynomial
    - approximant une autre fonction f(x) k-fois differentiable
    - avec une approximation parfaite au point a
    - alors :
      - g(x) = ∑n=0,k f⁽ⁿ⁾(a)/n!*(x-a)ⁿ
      - g(x) peut être une fonction complexe ∑
    - exemple :
      - si f(x) = e^x
        - rappel : f'(e^x) = e^x, f''(e^x) = e^x, etc.
      - pour une approximation de degré 2 au point 0
      - g(x) = f(a)/0!*(x-0)^0 + f'(a)/1!*(x-0)^1 + f''(a)/2!*(x-0)²
             = e^0/1*x^0       + e^0/1*x^1        + e^0/2*x²
             = 1/1*1           + 1/1*x            + 1*x²/2
             = 1 + x + x²/2
  - erreur/remainder/residual (car approximation) entre Taylor polynomial et f(x) est Rₙ(x) :
    - Rₙ(x) = h(x)(x - a)
      - (x - a) donc lim(x->a) Rₙ(x) = 0 (erreur s'approche de 0 quand x s'approche de a)
  - Taylor's series : tel polynome, de degré ∞, donnant meilleure approximation polynomiale possible
  - Maclaurin series : Taylor's series, quand a = 0
  - La Maclaurin series de tout polynome est ce même polynome
  - Fonction analytique :
    - fonction pouvant correspondre/être égale à une power series sur a, et sur un open interval
    - si égal à sa Taylor's serie, elle est dite entire
  - pour des fonctions non-analytiques ne donne pas forcément meilleure approximation
  - l'amélioration de l'approximation est limité à une neighboorhood (interval) donné pour une f(x) donné
    - l'interval où l'approximation est parfaite est le radius of convergence
    - il est égal à :
      - pour toute power serie : si |z - a| < r, où r = lim_inf(n->∞) |aₙ|^-1/n
      - pour Taylor's serie    : si |x - a| < r, où r = lim_inf(n->∞) |f⁽ⁿ⁾(a)/n!|^-1/n
      - pour Maclaurin's serie : [-r;r],         où r = lim_inf(n->∞) |f⁽ⁿ⁾(0)/n!|^-1/n
  - exemples courants :
    - eⁿ = ∑n=0,∞ xⁿ/n!
  - linear approximation est une approximation utilisant un Taylor polynomial de degré 1, c'est-à-dire une simple droite (la
    dérivé)
    - linearization :
      - connaissant f(x), f'(x) et f(a) pour un a donné
      - mais ignorant f(b) pour un b donné
      - peut avoir une approximation f(b) ≈ f(a) + f'(a)*(b-a)
      - example :
        - f(x) = √x, a = 4, b = 4.001
          f(4.001) ≈ √4 + 1/2√4 * (4.001 - 4)
          f(4.001) ≈ 2 + 1/4 * 0.001
          f(4.001) ≈ 2.00025

Power series :
  - fonction sous la forme :
      ∑n=0,∞ aₙ(x - c)ⁿ
  - souvent c = 0, alors : ∑n=0,∞ aₙxⁿ
  - example : Taylor series
  - opérations :
    - pour f(x) = ∑n=0,∞ aₙ(x - c)ⁿ
    - et   g(x) = ∑n=0,∞ bₙ(x - c)ⁿ
    - alors :
      - f(x) ± g(x) = ∑n=0,∞ (aₙ ± bₙ)(x - c)ⁿ
      - f(x) * g(x) = ∑n=0,∞ (∑k=0,n aₖbₙ₋ₖ)(x-c)ⁿ

Mean value theorem :
  - soit f(x) continue sur [a,b], où a < b
  - 1-fois differentiable sur (a,b)
  - alors il existe un point c dans [a,b] tel que :
    - f'(c) = (f(b) - f(a)) / b-a
    - c'est-à-dire graphiquement qu'au moins un point c a eu une dérivé parallèle à "la dérivé moyenne entre a et b", soit (a;f(a))(b;f(b))
    - par exemple, si une voiture entre temps a et b a une vitesse de x km/h, elle a eu du avoir précisément cette vitesse à
      un moment c
  - Rolle's theorem :
    - cas particulier quand f(a) = f(b)
    - alors il doit exister un c tel que f'(c) = 0
  - Cauchy's extended mean value theorem :
    - soit également une g(x) avec mêmes propriétés que f(x)
    - il existe un c, tel que (f(b) - f(a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c)
      - soit si g(b) != g(a) et g'(c) != 0 :
          f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))

Partial derivative :
  - sur un F avec plusieurs variables, tel que f(x,y)
  - calcule la dérivative de F, avec toutes variables, sauf une, remplacés par des constantes (dont dérivé est donc 0)
    - admettons ici que y est la variable conservée
    - appelé partial derivative with respect to y
  - décrit la variation de x avec autres variables ne variant pas
  - différentes notations : f'ₓ(y), ∂ₓf(y) ou ∂f/∂y
  - opposé est total dérivative
  - exemple :
    - f(x,y) = x² + y²
      f'ₓ(y) = 2y

Antiderivative :
  - inverse de dérivé : f(x) est l'antidérivative de f'(x), et f'(x) de f''(x)
  - antidifferentiation / indéfinite integration : trouver toutes f(x) possibles pour une f'(x) donnée
  - donne une équation f(x) = ... + C, où C est une constante, car dérivé d'une constante est toujours 0
      - mais ... a une seule solution pour un f'(x) donné

Antidérivatives courantes :
  - pour f'(x) -> f(x) :
    - b            -> bx
    - a*X'         -> a*X
    - xⁿ           -> x^(n+1)/(n+1)

Units :
  - unit1/unit2 signifie la dérivé d'une f(x) où l'abscisse est unit2 et l'ordonnée unit1
    - en d'autres termes, dy/dx, où dy est unit1 et dx unit2
    - exemple : km/h est la velocité, soit la f'(x) de la position f(x), où x est le temps et y la distance

Fonction monotonique :
  - fonction dont la dérivée est toujours positive ou négative
  - en d'autre termes, diminue ou augmente toujours


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                                            )==:       INTEGRAL CALCULUS       :==(
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Integral :
  - indefinite integral :
    - integral sans limites d'integration
    - équivalent à antiderivative, noté ∫f(x)dx
  - definite integral :
    - valeur totale d'une fonction f(x) entre deux inputs k et n
    - graphiquement aire étant différence entre une fonction au-dessus de l'axe des abscisses - en-dessous de cet axe
    - équivalent à antiderivative, noté ∫ⁿₖ f(x)dx, pour deux valeur x et n
  - de même qu'une fonction peut être differentiable, elle peut être integrable
  - terminologie :
    - région de k à n est le domain of integration
    - k et n sont les limites d'integration
    - f(x) est nommé l'integrand
    - dx est la variable d'integration
  - fundamental theory of calculus :
    - soit F(x) l'antidérivative de f(x)
    - ∫ⁿₖ f(x)dx = F(n) - F(k)
      - car ∫ⁿ₀ f'(x)dx = F(n)
    - exemple :
      - antiderivative de √x est 2/3√x³
      - ∫³₁ √x dx = 2/3√3³ - 2/3√1³
                  = 2/3√27  - 2/3
                  = (2√27 - 2)/3