-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 10
/
Antennen.tex
305 lines (249 loc) · 15.2 KB
/
Antennen.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
\section{Antennen}
\subsection{Herz'scher Dipol (HDp)}
\subsubsection{Allgemein}
$ r $: Antennen\textbf{abstand}
{\footnotesize\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
{\vec{\underline{H}}} & =-\frac{I_0\Delta l'\beta^2}{4\pi}e^{-j\beta r}\cdot\sin\vartheta\left(\frac{1}{j\beta r}+\frac{1}{(j\beta r)^2}\right)\vec{e}_\varphi \\
{\vec{\underline{E}}} & = -\frac{Z_F I_0\Delta l'\beta^2}{2\pi}e^{-j\beta r}\cdot\cos\vartheta\left(\frac{1}{(j\beta r)^2}+\frac{1}{(j\beta r)^3}\right)\vec{e}_r \\
& -\frac{Z_F I_0\Delta l'\beta^2}{4\pi}e^{-j\beta r}\cdot\sin\vartheta\left(\frac{1}{(j\beta r)}+\frac{1}{(j\beta r)^2}+\frac{1}{(j\beta r)^3}\right)\vec{e}_\vartheta
\end{empheq}}
Im Zeitbereich:
{\footnotesize\begin{align*}
E_r (t) & = \frac{Z_F I_0 l}{2\pi r^3 \beta}\cos \vartheta \left[ \sin (\omega t- \beta r) + \beta r \cos (\omega t - \beta r) \right] \\
E_\vartheta (t) & = \frac{Z_F I_0 l}{4\pi r^3 \beta}\sin \vartheta \left[ \sin (\omega t- \beta r) + \beta r \cos (\omega t - \beta r) - (\beta r)^2 \sin(\omega t - \beta r) \right] \\
H_\varphi (t) & = \frac{I_0 l}{4\pi r^2 }\sin \vartheta \left[ \cos (\omega t- \beta r) + \beta r \sin (\omega t - \beta r) \right]
\end{align*}}
\subsubsection[Nahfeld]{Nahfeld (Fresnel-Zone)} $\frac{\lambda}{2\pi R}\gg 1$ oder $\beta R \ll 1$ oder $ r \ll \lambda $ \qquad $ \approx $ Faktor 10\\
Überwiegend \textbf{Blindleistungsfeld}, da $\vec{E}$ zu $\vec{H}$ $90^\circ$
phasenverschoben. Lösung entspricht dem quasistatischem Dipolfeld.
$\rightarrow$ \textbf{keine} Wellenausbreitung!
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
\vec{\underline{H}} & \approx \frac{I_0 \Delta l'}{4\pi r^2}\cdot\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\varphi \\
\vec{\underline{E}} & \approx \frac{I_0 \Delta l'}{2\pi j \omega\varepsilon r^3}\cos\vartheta\cdot\vec{e}_r
+ \frac{I_0 \Delta l'}{4\pi j \omega\varepsilon r^3}\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\vartheta
\end{empheq}
\subsubsection[Fernfeld]{Fernfeld (Fraunhofer-Zone)}
$\frac{\lambda}{2\pi R}\ll 1$ oder $\beta R\gg 1$ oder $ r \gg \lambda $ \qquad
$\approx$ Faktor 10\\
Überwiegend \textbf{Wirkleistungsfeld}, $\vec{S}$ in Richtung $\vec{e}_r$
$ \rightarrow $ Kugelwelle, $\vec{E}$ und $\vec{H}$ in Phase, fallen mit $
\frac{1}{r} $ ab.
\vspace{1ex}
\begin{empheq}[box=\fbox] {align*}
\vec{\underline{H}} & \approx j\frac{\beta I_0 \Delta l'}{4\pi r}\cdot e^{-j\beta r}\cdot\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\varphi \\
\vec{\underline{E}} & \approx j\frac{\beta Z_F I_0 \Delta l'}{4\pi r}\cdot e^{-j\beta r}\cdot\sin\vartheta\cdot \vec{e}_\vartheta
\end{empheq}
\subsubsection{Abgestrahlte Leistung im Fernfeld HDp}
\begin{align*}
P_\texttt{rad} = P_s & = \frac{Z_{F0} {I_0}^2 \beta^2 (\Delta l')^2}{12\pi}
= \frac{I_0^2 Z_F\pi}{3}\cdot \dfrac{\Delta l'^2}{\lambda^2} \\
& = 40\pi^2\Omega\cdot\left(\frac{I_0\Delta l'}{\lambda}\right)^2 \\
\vec{S}_{av} & = \frac{Z_FI_0^2\beta^2(\Delta l')^2}{32\pi^2r^2}\cdot\sin^2\vartheta\cdot\vec{e}_r \\
& = \frac{1}{2}\Re\left\{\vec{E}\times\vec{H}^*\right\}
\end{align*}
\subsubsection{Strahlungswiderstand HDp}
\begin{align*}
R_s & = \frac{2}{3}\pi Z_F\left(\frac{\Delta l'}{\lambda}\right)^2
= 80\pi^2\Omega\left(\frac{\Delta l'}{\lambda}\right)^2
\end{align*}
\subsubsection{Verlustwiderstand HDp}
\begin{align*}
R_{v} & = \frac{l}{\sigma\cdot A_\delta}
\end{align*}
\subsection{Magnetischer Dipol}
Dipolmoment: \boxed{\vec{m} = \vec{I}\pi\vec{a}^2\vec{e}_z}
\boxed{m = I\cdot A}
\begin{center}
\input{Figures/Antennen_Magnetischer_Dipol.tex}
\end{center}
{\footnotesize\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
{\vec{\underline{H}}} & = -\frac{j\omega\mu\beta^2m}{2\pi Z_{F0}}e^{-j\beta r}\cdot\cos\vartheta\left(\frac{1}{(j\beta r)^2}+\frac{1}{(j\beta r)^3}\right)\vec{e}_r \\
& -\frac{j\omega\mu\beta^2m}{4\pi Z_{F0}}e^{-j\beta r}\cdot\sin\vartheta\left(\frac{1}{(j\beta r)}+\frac{1}{(j\beta r)^2}+\frac{1}{(j\beta r)^3}\right)\vec{e}_\vartheta \\
{\vec{\underline{E}}} & = \frac{j\omega\mu\beta^2m}{4\pi}e^{-j\beta r}\sin\vartheta\left(\frac{1}{j\beta r}+\frac{1}{(j\beta r)^2}\right)\vec{e}_\varphi
\end{empheq}}
mag. Vektorpotenzial $ \vec{A} $:
\begin{flalign*}
\vec{A} & = \frac{\mu m}{4\pi r^2}(1+j\beta r) e^{-j\beta r}\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\varphi
\end{flalign*}
$ P_{rad} $: elek. Dipol der Länge l $\widehat{=}$ mag. Dipol der Fläche A
\begin{align*}
\Delta l & = \beta \cdot A_{\texttt{Kreis}} = \beta \cdot \pi\ a^2 & \frac{m}{v_p}=p &
\end{align*}
\subsubsection{Fernfeld}
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
E & \approx -\frac{\beta m\omega\mu}{4\pi r}e^{-j\beta r}\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\varphi \\
H & \approx -\frac{\beta m\omega\mu}{4\pi r Z_{F0}}e^{-j\beta r}\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\vartheta
\end{empheq}
\subsubsection{Abgestrahlte Leistung im Fernfeld}
\begin{align*}
P_\texttt{rad} = P_s & = \frac{Z_F\beta^4m^2}{12\pi}
= \frac{m^2\mu\omega^4}{12\pi v_p^3} \\
S_{av} & = \frac{Z_F\beta^4m^2}{32\pi^2r^2}\cdot\sin^2\vartheta\cdot\vec{e}_r \\
& = \frac{1}{2}\Re\left\{\vec{E}\times\vec{H}^*\right\}
\end{align*}
\subsubsection{Nahfeld}
\begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
E & \approx -\frac{jm\omega\mu}{4\pi r^2}\sin\vartheta\cdot\vec{e}\varphi \\
H & \approx \frac{m}{4\pi r^3}(2\cos\vartheta\cdot\vec{e}_r+\sin\vartheta\cdot\vec{e}_\vartheta)
\end{empheq}
\newpage
\subsection{Lineare Antenne}
Stromverteilung auf linearen Antennen \textbf{nicht} konstant:
\begin{align*}
I(z') & = I_0\cdot\sin\left[\beta\left(\frac{l}{2}-|z'|\right)\right]
\end{align*}
\subsubsection{Dipolantenne allgemein}
$ l $: Antennen\textbf{länge} \qquad $ r $: Antennen\textbf{abstand}
\begin{align*}
\vec{\underline{H}} & = j\frac{I_0}{2\pi r}\cdot e^{-j\beta r}\cdot\frac{\cos\left[\left(\frac{\beta l}{2}\right)\cos\vartheta\right]-\cos\left(\frac{\beta l}{2}\right)}{\sin\vartheta}\cdot\vec{e}_\varphi \\
\vec{\underline{E}} & = H\cdot Z_{F0}\cdot\vec{e}_\vartheta \\
I_0 & = \sqrt{\frac{2\cdot P_{s}}{R_{s}}} \qquad R_{s} \rightarrow \text{siehe Antennentabelle Kap. \ref{sec:Antennentabelle}}
\end{align*}
\textbf{Halbwellen}dipol: $ l=\frac{\lambda}{2} \qquad
\underline{Z}_{s}=(\overbrace{73,13}^{R_s}+j\overbrace{42,54}^{X_s})\Omega$
\textbf{Ganzwellen}dipol: $ l=\lambda \qquad \underline{Z}_{s}=(199,09+j125,41)\Omega$
\subsubsection{Eingangs-/Fußpunktimpedanz}
Bei leerlaufender Leitung entstehen in Längsrichtung stehende Wellen. Um max.
Wirkleistung zu übertragen, muss die Eingangs-/Fußpunktimpedanz $ Z_A $
\textbf{reell} bzw. die Leitung in Resonanz sein.
\begin{equation*}
P_{max} \rightarrow n \cdot \frac{\lambda}{4}
\end{equation*}
\begin{align*}
\underline{Z}_A & =\underline{Z}_s\frac{|I_0|^2}{|I_0(z'=0)|^2} = \frac{\underline{Z}_s}{\sin^2\left[ \beta \frac{l}{2} \right] }
\end{align*}
Strom am Fußpunkt:
\begin{align*}
I(z'=0) & = I_0\cdot\sin\left[\beta\left(\frac{l}{2}\right)\right]
\end{align*}
Komplexe Strahlungsleistung:
\begin{align*}
P_s +jQ_s = \underline{Z}_s\cdot \frac{|I_0|^2}{2} = \underline{Z}_A \cdot \frac{|I_0(z'=0)|^2}{2}
\end{align*}
\subsubsection{Strahlungsdichte}
\begin{align*}
\vec{S}_{av} & = \frac{Z_FI_0^2}{8\pi^2 r^2}\left(\frac{\cos\left(\frac{\beta l }{2}\cos\vartheta\right)-\cos\left(\frac{\beta l}{2}\right)}{\sin\vartheta}\right)^2\cdot\vec{e}_r \\
S_{av} & = S_{iso} \cdot D_{max} \cdot C^2(\vartheta, \varphi) \\
S & = S_{iso} \cdot G \cdot \eta
\end{align*}
\subsubsection{abgestrahlte Wirkleistung}
\begin{align*}
P_{s} & = \int_A S_{av}\cdot d\vec{a} \\
& = \int^{2\pi}_{\varphi = 0}\int^{\pi}_{\vartheta = 0} S_{av}\cdot r^2 \sin\vartheta \, d\vartheta \, d\varphi \\
P_{s} & = \frac{Z_{F}I_0^2}{4\pi}\cdot\int^{\pi}_{\vartheta=0}\frac{\left(\cos\left(\frac{\beta l}{2}\cos\vartheta\right)-\cos\left(\frac{\beta l}{2}\right)\right)^2}{\sin\vartheta}d\vartheta \\
& = \frac{Z_{F}I_0^2}{4\pi}\cdot x
\end{align*}
Numerische Lösung des Integrals ergibt Faktor $ x $:\\
bei \textbf{Halbwellen}dipol: $ x=1,2188 $\\
bei \textbf{Ganzwellen}dipol: $ x=3,3181$
\subsection{Antennenkenngrößen}
\input{Figures/Antennen_Antennenkenngroessen_circuit.tex}
$ X_A $ wird kompensiert $ \rightarrow $ max. Wirkleistungsübertragung
\subsubsection{Abgestrahlte Leistung}
\begin{align*}
P_s = P_{rad} & = \frac{1}{2}\cdot I_A^2 \cdot R_s
\end{align*}
\subsubsection{Verlustleistung}
\begin{align*}
P_V & = \frac{1}{2}\cdot I_A^2\cdot R_V
\end{align*}
\subsubsection{Wirkungsgrad}
wenn $ R_V $ vorhanden $\rightarrow$ wirkt sich auf $ G $ aus!
\begin{align*}
\eta & = \frac{P_s}{P_s + P_V} = \frac{R_s}{R_s + R_V}
\end{align*}
\subsubsection{Gewinn/Gain}
Verlustlose Antenne, wenn $ \eta = 1 $
\begin{align*}
G & = \eta \cdot D \qquad \text{bei}\; \eta=1 \rightarrow G=D
\end{align*}
\subsubsection{Richtcharakteristik}
$C_{i} \ent$ isotroper Kugelstrahler als Bezugsgröße in Hauptabstrahlrichtung
\begin{align*}
C_{i}(\vartheta, \varphi) & = \frac{E(\vartheta, \varphi)}{E_{i}}=\frac{H(\vartheta, \varphi)}{H_{i}} & C_{i}>1 \\
C(\vartheta, \varphi) & = \frac{E(\vartheta, \varphi)}{E_{\max}}=\frac{H(\vartheta, \varphi)}{H_{\max}} = \frac{U(\vartheta,\varphi)}{U_{\max}} & 0 \leq C(\vartheta, \varphi) \leq 1 \\
C(\vartheta, \varphi) & =
\left|\frac{\cos\left(\frac{\beta L}{2}\cos\vartheta\right)-\cos\left(\frac{\beta L}{2}\right)}{\sin\vartheta}\right|
\end{align*}
\subsubsection{Richtfunktion/-faktor}
\begin{align*}
D_{\texttt{eff}}(\vartheta, \varphi) & = \frac{S(\vartheta, \varphi)}{S_{i}} = C^\mathbf{2}_i(\vartheta, \varphi) = D_{\texttt{max}} \cdot C^\mathbf{2}(\vartheta, \varphi) & \\
D_{max} & = \max \{D(\vartheta, \varphi)\} = \frac{S_{\max}}{S_{i}} &
\end{align*}
\vspace{-0.5cm}
\begin{align*}
& \text{\textbf{Halbwellen}dipol}\quad l=\frac{\lambda}{2} \\
& D_{\texttt{eff}}(\vartheta, \varphi) = 1,64 \cdot
\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}\cos\vartheta\right)}{\sin\vartheta}\right)^\mathbf{2} & \\
& \text{\textbf{Ganzwellen}dipol}\quad l=\lambda \\ &D_{\texttt{eff}}(\vartheta, \varphi) = 2,41 \cdot
\left(\frac{\cos\left(\pi\cos\vartheta\right)+1}{2\sin\vartheta}\right)^\mathbf{2} &
\end{align*}
\subsection{Senden und Empfangen}
Bei Anpassung: $R_e = R_s \rightarrow$ max. Wirkleistung wird übertragen!
\input{Figures/Antennen_Empfangsersatzschaltbild_circuit.tex}
$ R_s $: Strahlungswiderstand \quad $ s $: Sender \qquad $ e $: Empfänger\\
$ r $: \textbf{Abstand} von der Antenne
\begin{align*}
P_e & = \frac{1}{2}\cdot R_s \cdot I^2 = \frac{U_0^2}{8R_{s}} \qquad S_s = \frac{1}{2}\, H_0^2 \, Z_{F0} = \frac{1}{2} \, \frac{E_0^2}{Z_{F0}} \\
& = \frac{E_0^2\cdot l^2_{\mathtt{eff}}}{8R_{s}}
\end{align*}
\subsubsection{Wirksame/Effektive Antennenfläche}
\begin{align*}
A_\texttt{eff} & = \frac{P_e}{S_s} = \frac{U_0^2}{8R_{s}}\frac{2Z_{F0}}{E_0^2} &
A_\texttt{eff} & = \frac{\lambda^2}{4\pi}\cdot G = \dfrac{Z_{F0}}{4 R_S} \cdot l_\texttt{eff}^2 &
\end{align*}
Beim Hertzschen Dipol:
\begin{align*}
A_\texttt{eff} & = \frac{\lambda^2}{4\pi}\cdot\frac{3}{2}\sin^2\vartheta &
\end{align*}
\subsubsection{Friis-Übertragungsgleichung}
\begin{align*}
& S_{iso} = \frac{P_s}{4\pi r^2} & S_s = S_{iso} \cdot D_s \\
& S_{\texttt{iso,max}}=\frac{P_s}{4\pi r^2}\cdot G \\
& A_{\mathtt{eff,n}} = \frac{\lambda^2}{4\pi}\cdot D_n(\vartheta, \varphi)\cdot \eta_n & A_{\mathtt{eff,n}}\Big|_{\mathtt{max}} = \frac{\lambda^2}{4\pi}\cdot G_n
\end{align*}
\begin{align*}
P_e & = S_s \cdot A_{\mathtt{eff,e}} \\
& = S_s\cdot \frac{\lambda^2}{4\pi}\cdot D_e(\vartheta, \varphi)\cdot \eta_e \\
\frac{P_{e}}{P_{s}} & = A_{\texttt{eff},e}\cdot A_{\texttt{eff},s}\cdot\frac{1}{\lambda^2r^2} \\
& = D_e(\vartheta, \varphi)\cdot\eta_{e}\cdot D_s(\vartheta, \varphi)\cdot\eta_{s}\cdot\left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right)^2 \\
\frac{P_{e}}{P_{s}}\Big|_{\mathtt{max}} & = G_{s}\cdot G_{e}\cdot \left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right)^2
\end{align*}
Reziprozität: Sende- und Empfangscharakteristik sind identisch!
\subsubsection{Freiraumdämpfung}
d: Abstand zur Antenne
\begin{align*}
F = \dfrac{P_{s}}{P_{e}} \cdot \left(\dfrac{4 \pi d}{\lambda}\right)^2 & \qquad [1] \\
a_{0} = 20 \log \left(\frac{4 \pi d}{\lambda}\right) =20 \log \left(\frac{4 \pi d f}{c_{0}}\right) & \qquad [\si{dB}]
\end{align*}
Freiraumdämpfung wird durch räumliche Verteilung der Strahlung verursacht,
\textbf{nicht} durch Wirkverluste des Ausbreitungsmediums.
\subsubsection{Leistungspegel/Freiraumpegel}
\begin{align*}
L & = 10 \lg \left(\frac{P}{1 \si{mW}}\right) \qquad [\si{dBm}] \\
L_{e} & = L_{s}+g_{s}+g_{s}-a_{0} \qquad [\si{dB}]
\end{align*}
\subsection{Bezugsantennen}
\[
\boxed{g = 10 \cdot log(G) \si{dB}}
\]
mit $P_0$ : Eingangsleistung der Antenne
\begin{description}
\item \textbf{\underline{G$\rightarrow$Bezugsantenne:}}
Elementardipol zu Kugelstrahler \[D = 1,50 \rightarrow g = 1,76\si{dBi}\]
Halbwellendipol zu Kugelstrahler \[D = 1,64 \rightarrow g = 2,15\si{dBi}\]
\item \textbf{\underline{EIRP}: Eqivalent \underline{Isoropic} Radiated Power}
\[
\text{EIRP} = P_0 \cdot G_i [\si{dBi}]
\]
\item \textbf{\underline{ERP}: Eqivalent Radiated Power (verlustloser Halbwellendipol)}
\[
\text{ERP} = P_0 \cdot G_d [\si{dBd}]
\]
\end{description}
\subsection{Monopolantenne}
Verhält sich wie ein Dipol, der nur in die obere Hälfte abstrahlt.
Strahlungswiderstand halbiert sich und Richtfaktor verdoppelt sich gegenüber
der Dipolantenne.
Geometrisch zu kurze Antennen können durch breiteren Drahtdurchmesser,
Fußpunktinduktivität oder Dachkapazität elektrisch verlängert werden.