- 若一个函数是奇函数或偶函数，则它的导函数奇偶性互换
- 若一个函数是周期函数，则它的导函数周期性不变
- 前提：定义域关于原点对称
- 基本类型
- f(x)+f(-x)为偶函数
- f(x)-f(-x)为奇函数
-
$f[\varphi(x)]$ 奇[偶]为偶函数 偶[奇]为奇函数 奇[奇]为奇函数 偶[偶]为偶函数 非[偶]为偶函数 - 一个特殊的：$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 为奇函数
- 求导之后奇偶性互换
- f(x)的0下限的变限积分奇偶性互换 即若f(x)为奇函数，则$\int_0^x f(t)dt$ 为偶函数
- （题源）f(x)连续，$\forall x,y, f(x+y)=f(x)+f(y)\Rightarrow f(x)为奇函数$
证明
- 取y=0
- 取y=-x
设$y=f(x)$在区间(a,b)内为严格单调的连续函数，则它必存在具有相同单调性的严格单调反函数$x=f^{-1}(y)$，原来函数（称直接函数）$y=f(x)$的值域，就是反函数$x=f^{-1}(y)$的定义域
- 设$\lim\limits_{x\to x_0}u(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)$都存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)\pm v(x))$必都存在，且$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)\pm v(x))=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0}v(x)$
- 设$\lim\limits_{x\to x_0}u(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)$之一存在，另一不存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)\pm v(x))$均不存在
- 设$\lim\limits_{x\to x_0}u(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)$都不存在，则或者$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)+ v(x))$与$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)- v(x))$都不存在，或者其一存在另一不存在，但不可能两个都存在
- 设$\lim\limits_{x\to x_0}u(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)$都存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)v(x))$必存在且等于两个极限之积
其他情况都不一定，均可举出$\lim\limits_{x\to x_0}(u(x)v(x))$存在或不存在的例子
- 设$\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=u_0$，且存在$x=x_0$的某去心邻域U(x)，当$x\in U(x_0)$时$\varphi(x)\neq u_0$，又设$\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=A$，则$\lim\limits_{u\to u_0}f(\varphi(x))=A$
这里的$x\to x_0$可以换成$x\to x^-_0, x\to x^+_0, \infty, +\infty, -\infty$
设 $\lim\limits_ {x \to }f(x)=A,A \neq 0$，则存在的一个去心邻域，在此邻域内f(x)与A同号
设
- 在$*$的去心邻域内$g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$
-
$\lim\limits_{x\to *}g(x)=\lim\limits_{x\to *}h(x)=A$ ，则$$\lim_{x\to *}f(x)=A$$
注
- 夹逼定理对数列也成立
- 上面的A都换成$+\infty$或$-\infty$，定理也成立
(1)$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1$
(2)$\lim\limits_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
(3)$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]n=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$（常数$a>0$）
(4)当$x\to0$时
设$x\to *$时$\alpha(x)\sim a(x), \beta(x)\sim b(x)$，则
注
- 若上式右边存在，则左边等于右边；若上式右边为$\infty$（或其他情形的不存在），则左边亦为$\infty$（或其他情形的不存在）
- 整个式子中的乘除因子可用等价无穷小替换求其极限，加减时不能用等价无穷小替换，部分式子的乘除因子也不能用等价无穷小替换
例如，$x\to 0$ 时，$x^3+x^4\sim x^3$.这是因为$(x^3+x^4)-x^3=x^4=o(x^3)$
设
(1)
(2)
(3)
设
(1)
(2)
(3)
注：不是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型就不能用洛必达法则
设$f(x)在x=x_0$处存在n阶导数，则有公式
其中
上述公式称为在$x=x_0$处展开的具有佩亚诺余项的n阶泰勒公式
设$f(x)$在[0,1]上连续，$u_n=\frac{1}{n}\sum\limits^n_{i=1}f(\frac{i}{n})$或$u_n=\frac{1}{n}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\frac{i}{n})$，则
- 设$f(x)在x=x_0$的某去心邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，但$f(x_0)$无定义，或者虽有定义，但与$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$不相等，称$x=x_0$为$f(x)$的可去间断点
- 设$f(x)在x=x_0$的某去心邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$都存在，但不相等，称$x=x_0$为$f(x)$的跳跃间断点。此时不论$f(x_0)$是否存在，存在时等于什么都无关
设$f(x)在x=x_0$的某去心邻域内有定义，如果$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$至少有一个不存在，称$x=x_0$为$f(x)$的第二类间断点。第二类间断点又可细分为无穷间断点，振荡间断点等
例如$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点；$g(x)=\sin \frac{1}{x}$在$x=0$处为振荡间断点
设u(x)与v(x)在$x=x_0$处连续，则四则运算之后所成的函数在$x=x_0$也连续（除法运算要求分母不为零）
设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它具有下列性质：
- f(x)在[a,b]上有界（称有界性定理）
- f(x)在[a,b]上有最大值与最小值（称最值定理）
- 设$\mu$满足$m\leqslant\mu\leqslant M$，m和M分别为$f(x)$在[a,b]上的最小值与最大值，则至少存在一点$\xi\in[a,b]$，使$f(\xi)=\mu$（称介值定理）
- 设$f(a)f(b)<0$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使$f(\xi)=0$（称零点定理）
设$y=f(x)$在$x=x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，并设$x_0+\Delta x\in U(x_0)$。如果
设$f(x)$在x处可导，则$f(x)$在同一点处必连续，但反之不真
函数f(x)在闭区间[a,b]的端点处的导数是指$f'+(a)$及$f'-(b)$
设$y=f(x)$在$x_0$处可导（可微），则
若又设在含有$x_0$的某区间内存在二阶导数，则由拉格朗日余项泰勒公式，有
$(\sin x)'=\cos x$ $(\cos x)'=-\sin x$ $(\tan x)'=\sec^2 x$ $(\cot x)'=-csc^2 x$ $(\sec x)'=\sec x\tan x$ $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ $(arc\cot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
设$f(t)$为连续函数，$\varphi_1(x)与\varphi_2(x)$均可导，则有
设函数$y=f(x)$由参数式$\begin{cases} x=x(t) \ y=y(t)\end{cases}$确定，并设$x(t)$与$y(t)$均可导，$x'(t)\neq 0$，则 $$y'_x=\frac{y'_t}{x't}; y''{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x't}=\frac{x't y''{tt}-x''{tt}y'_t}{(x'_t)^3}$$
设函数y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，视F(x,y)中的y为x的函数f(x)，将F(x,y)=0两边对x求导，便得到含有$\frac{dy}{dx}$的一个式子，从中解出$\frac{dy}{dx}$即可。将已获得的$\frac{dy}{dx}$再对x求导，并视其中的y为x的函数f(x)，便得$\frac{,d^2y}{d^2x}$
设f(x)在x=a处可导，则|f(x)|在x=a处不可导的充要条件是
设f(x)在x=x0的某邻域有定义，如果存在一个邻域U(x0),当$x\in U(x_0)$时有$f(x)\geqslant(\leqslant)f(x_0)$，称f(x0)为f(x)的一个极小（极大）值，点x=x0称为f(x)的一个极小（极大）值点
既有区别又有联系
设y=f(x)在区间I上连续，如果对于区间I上任意两点x1与x2，联结点A(x1,f(x1))与点B(x2,f(x2))的弦$\overline{AB}$总在弧$\stackrel{\Large\frown}{AB}$的上方（下方）称曲线y=f(x)在I上式凹（凸）的
连续曲线y=f(x)上的凹凸弧的分界点称为该曲线的拐点
连续曲线y=f(x)上若f'(x)=0的解为a则称其为f(x)的驻点或称稳定点、临界点
设f(x)在$x=x_0$处为极值，且$f'(x_0)$存在，则$f'(x_0)=0$。反之不成立
设f(x)在$x=x_0$处连续，在$x=x_0$的去心邻域内可导，则
- 若在$x=x_0$的左侧邻域内$f'(x)>0$，右侧邻域内$f'(x)<0$，则$f(x_0)$为极大值
- 若在$x=x_0$的左侧邻域内$f'(x)<0$，右侧邻域内$f'(x)>0$，则$f(x_0)$为极小值
注：
- 若左右邻域内f'(x)同号，则f(x0)必不是极值
- 左右邻域导数反号是举出的充分条件而不是必要条件
设f(x)在$x=x_0$处存在二阶导数，$f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0$，ze
- 若$f''(x_0)<0$，则$f(x_0)$为极大值
- 若$f''(x_0)>0$，则$f(x_0)$为极小值
- 水平渐近线
若$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=b_1$，则$y=b_1$是一条水平渐近线；若又有$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=b_2$，则$y=b_2$也是一条水平渐近线(若$b_1=b_2$，则只能算作一条) - 铅直渐近线
若存在$x_0$，使$\lim\limits_{x\to x^-0}f(x)=\infty$（或$\lim\limits{x\to x^+_0}f(x)=\infty$），则$x=x_0$是一条铅直渐近线 - 斜渐近线
$y=ax+b$ 是曲线$y=f(x)$的一条斜渐近线的充要条件是$\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=a,\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-ax)=b$。这里$x\to +\infty$也可以改成$x\to -\infty$。若$a=0$上式成立，即为水平渐近线
弧$\stackrel{\Large\frown}{MM'}$的切线转角$\Delta \alpha$与该弧长$\Delta s$之比的绝对值称作该弧的平均曲率，记作
当M'沿曲线L趋向于M时，若弧的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线L在点M处的曲率，记作K
设$f(x)$存在二阶导数，曲线$y=f(x)$在其上点$(x,f(x))$处的曲率计算公式为
曲率半径：
千万不要用拉格朗日中值定理去证明罗尔定理，因为拉格朗日中值定理是用罗尔定理证的
设f(x)在$x=x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，$f(x_0)$是f(x)的一个极大（极小）值，又设$f'(x_0)$存在，则$f'(x_0)=0$
使$f'(x)=0$的$x=x_0$称为$f(x)$的驻点
注：本定理实际上就是可导条件下极值点的必要条件
设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，又设f(a)=f(b)，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$使$f'(\xi)=0$
注：罗尔定理中的$\xi$实际上就是f(x)的极值点
设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，又设$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$使$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
注：拉格朗日中值定理常用的是下述形式：在定理条件下，设$x_0,x$是[a,b]上的任意两点，则至少存在一点$\xi$介于$x_0与x$之间，使
命$\theta=\frac{\xi-x_0}{x-x_0}$，则$0<\theta<1$，拉格朗日中值定理公式又可写成
设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且$g'(x)\neq0,x\in(a,b)$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$使
设f(x)在闭区间[a,b]有n阶连续的导数，在开区间(a,b)内有知道n+1阶导数，$x_0\in[a,b],x\in[a,b]$是任意两点，则至少存在一点$\xi$介于$x_0与x$之间，使
注：
- 如果泰勒公式中的$x_0=0$，则称该公式为麦克劳林公式
- 具有拉格朗日余项的0阶泰勒公式就是拉格朗日中值定理，具有拉格朗日余项的1阶泰勒公式，就是函数的微分与增量之间的关系式
- 两个泰勒公式的条件、结论和用途比较如下
| 拉格朗日余项泰勒公式 | 佩亚诺余项泰勒公式 | |
|---|---|---|
| 条件 | [a,b]上n阶连续导数，(a,b)存在(n+1) 阶导数，要求高 |
|
| 余项 | 表达清楚：$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$ | 仅表达了高阶无穷小：$$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$$ |
| 用途 | 可用于区间[a,b]上， 例如证明不等式或等式 |
仅能用于$x_0$邻域， 例如讨论极值及求$x\to x_0$时的极限 |
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
2. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
3. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n})$
4. $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)$
5. $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1)^nx^n+o(x^n)$
6. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n)$
7. $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)x^3}{3!}+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)x^n}{n!}+o(x^n)$
8. $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})$
- 设f(x)在[a,b]上连续，则$\int^b_a f(x), dx$存在
- 设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则$\int^b_a f(x), dx$存在
设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上必存在原函数
注：
- 如果f(x)在[a,b]上有定义，但不连续，那么f(x)在[a,b]上就不一定保证存在原函数。定积分存在不一定保证原函数存在，事实上有下述结论： 如果f(x)在[a,b]上有跳跃间断点$x_0\in (a,b)$，则f(x)在[a,b]上一定不存在原函数
- 设f(x)不连续，则原函数存在与否与定积分存在与否可以各不相干
设f(x)在[a,b]上连续，则$(\int^x_a f(t), dt)'_x=f(x),\ x\in [a,b]$ 由此可知，
注：
如果f(x)在[a,b]上除点$x=x_0\in(a,b)$外均连续，而在$x=x_0$除f(x)有跳跃间断点，记
- F(x)在[a,b]上连续
- F'(x)=f(x)，当$x\in [a,b]$，但$x\neq x_0$
- $F'_- (x_0)=f(x^-0),\ F'+ (x_0)=f(x^+_0)$
设f(u)连续，$\varphi(x)$具有连续的一阶导数，则有公式：
如果$\int f(u)du=F(u)+C$，则$F(u)+C=F(\varphi(x))+C$
设f(x)连续，$x=\varphi(t)$具有连续导数$\varphi'(t)$，且$\varphi'(t)\neq 0$，则
与不定积分不同
设
- f(x)在[a,b]上连续
-
$x=\varphi(t)$ 满足条件：$a=\varphi(\alpha),b=\varphi(\beta)$，并且当t在以$\alpha,\beta$所在端点的闭区间I上变动时，$a\leq \varphi(t)\leq b, \varphi'(t)$连续，则有定积分的换元积分公式$$\int^b_a f(x)dx=\int^\beta_\alpha f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$$
设u(x),v(x)均有连续导数，则
- 设f(x)在[-a,a](a>0)上是个连续的偶函数，则
$$\int^a_{-a}f(x)dx=2\int^a_0 f(x)dx$$ - 设f(x)在[-a,a](a>0)上是个连续的奇函数，则
$$\int^a_{-a}f(x)dx=0$$ - 设f(x)在$(-\infty,+\infty)$内是以T为周期的连续函数，则对于任意的常数a，都有
$$\int^{a+T}_a f(x)dx=\int^T_0 f(x)dx$$ - 华里士公式：
$$
\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n xdx=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos^n xdx
\begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & \text{当$n$为正偶数} \ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}\cdot 1, & \text{当$n$为大于1的正奇数} \end{cases} $$
设f(x)在$[a,+\infty]$上连续，称 $$\int^{+\infty}a f(x)dx=\lim{b\to +\infty}\int^b_a f(x)dx$$ 为f(x)在$[a,+\infty)$上的反常积分。若右边极限存在，称此反常积分收敛；若该极限不存在，称此反常积分发散
类似地可以定义
在后一式中，只要右边两个反常积分至少有一个不存在，就说反常积分$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$发散
设f(x)在区间[a,b)上连续，且$\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=\infty$，称
为f(x)在区间[a,b)上的反常积分（也称瑕积分），使$f(x)\to\infty$的点b称为f(x)的奇点（也称瑕点）
若点a为f(x)的奇点，类似地可以定义
若点a与b都是奇点，则应分成 $$\int^b_a f(x)dx=\int^{x_0}a f(x)dx+\int^b{x_0}f(x)dx,a<x_0<b$$ 若两个反常积分中至少有一个不存在，就说反常积分$\int^b_a f(x)dx$不存在（发散）
若在开区间(a,b)内部点c为奇点，则反常积分定义为
- 设f(x)在$(-\infty,+\infty)$上连续，且为奇函数，又设$\int^{+\infty}0 f(x)dx$收敛，则$\int^{+\infty}{-\infty}f(x)dx=0$
- 设f(x)在$(-\infty,+\infty)$上连续，且为偶函数，又设$\int^{+\infty}0 f(x)dx$收敛，则$\int^{+\infty}{-\infty}f(x)dx=2\int^{+\infty}_0 f(x)dx$
- 设f(x)在[-a,a]上除$x=\pm c$外均连续，$x=\pm c$为f(x)的奇点，$0\leq c\leq a$，又设f(x)为奇函数，且$\int^a_0 f(x)dx$收敛，则$\int^a_{-a}f(x)dx=0$
- 设f(x)在[-a,a]上除$x=\pm c$外均连续，$x=\pm c$为f(x)的奇点，$0\leq c\leq a$，又设f(x)为偶函数，且$\int^a_0 f(x)dx$收敛，则$\int^a_{-a}f(x)dx=2\int^a_0 f(x)dx$
关键在于微元法 满足条件：
- 当f(x)为常数f时，$F=f\cdot(b-a)$
- 当将区间[a,b]分为一些$\Delta x$之和时，量F也被分割为相应的一些$\Delta F$之和，即F具有可加性
将f(x)在小区间$[x,x+\Delta x]$上视为常量，于是有
于是有 $$ dF=f(x)dx,, F=\int^b_a f(x)dx $$
- 曲线$y=y_2(x)$与$y=y_1(x)(y_2(x)\geq y_1(x))$及x=a,x=b围成的平面图形的面积
$$A=\int^b_a(y_2(x)-y_1(x))dx$$ - 曲线$x=x_2(y)$与$x=x_1(y)(x_2(y)\geq x_1(y))$及y=c,y=d围成的平面图形的面积
$$A=\int^d_c(x_2(y)-x_1(y))dy$$ - 极坐标曲线$r=r(\theta)$介于两射线$\theta=\alpha$与$\theta=\beta(0<\beta-\alpha\leq 2\pi)$之间的曲边扇形的面积
$$A=\frac{1}{2}\int^\beta_\alpha r^2(\theta)d\theta$$
-
参数方程曲线$\begin{cases} x=x(t)\ y=y(t) \end{cases},\alpha\leq t\leq \beta$的弧长（其中x'(t)与y'(t)均连续，且不同时为零）
$$s=\int^\beta_\alpha \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$$ -
直角坐标$y=y(x),a\leq t\leq \beta$的弧长（其中y'(x)连续）
$$s=\int^b_a \sqrt{1+y'^2(x)}dx$$ -
极坐标曲线$r=r(\theta),\alpha\leq \theta\leq\beta $的弧长（其中$r(\theta),r'(\theta)$连续，且不同时为零）
$$s=\int^\beta_\alpha \sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta$$
- 曲线y=y(x)与x=a,x=b,x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积
$$V=\pi\int^b_a y^2(x)dx,a<b$$ - 曲线$y=y_2(x),y=y_1(x),x=a,x=b(y_2(x)\geq y_1(x)\geq 0)$围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积
$$V=\pi\int^b_a [y_2^2(x)-y_1^2(x)]dx,a<b$$ - 曲线$y=y_2(x),y=y_1(x),x=a,x=b(b>a\geq 0,y_2(x)\geq y_1(x))$围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积
$$V=2\pi \int^b_a x(y_2(x)-y_1(x))dx$$
在区间[a,b]上的曲线y=f(x)的弧段绕x轴旋转一周所成的旋转曲面面积
若由x=x(t),y=y(t),$\alpha\leq t\leq \beta$给出，则为
设$x\in[a,b]$，函数f(x)在[a,b]上的平均值为
若向量a为非零向量，它与x轴，y轴，z轴正向夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma$，则称$\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma$为a的方向余弦，且a的单位向量$\boldsymbol a^\circ={\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma},\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$
-
集合表示：$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$是一向量
模：$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=|a||b|\sin\theta$，其中$\theta=<a,b>$
方向：$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$同时垂直于a和b，且符合右手法则 -
代数表示： $$ \boldsymbol a\times\boldsymbol b=\begin{vmatrix}\boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $$
-
运算规律：
$$\boldsymbol b\times \boldsymbol a=-(\boldsymbol a\times \boldsymbol b)$$ 分配律：$$\boldsymbol a\times(\boldsymbol b+\boldsymbol c)=\boldsymbol a\times \boldsymbol b+\boldsymbol a\times\boldsymbol c$$ 与数乘的结合律：$$(\lambda\boldsymbol a)\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\times (\lambda \boldsymbol b)=\lambda(\boldsymbol a\times \boldsymbol b)$$ -
向量积在几何上的应用： 求同时垂直于a和b的向量：$\boldsymbol a\times \boldsymbol b$
求以a和b为邻边的平行四边形面积：$S=|\boldsymbol a\times \boldsymbol b|$
判定两向量平行：$\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\Leftrightarrow \boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$ -
混合积 1. 定义：称$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot \boldsymbol c$为三个矢量a,b,c的混合积，也可记为(abc)或[abc]
设$\boldsymbol a={a_x,a_y,a_z},\boldsymbol b={b_x,b_y,b_z},c={c_x,c_y,c_z}$，则 $$(abc)= \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} $$ 2. 运算规律：
轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)
两向量互换，混合积变号:(abc)=-(acb)=-(cba)=-(bac) 3. 混合积在几何上的应用：
求以a,b,c为棱的平行六面体体积:V=|(abc)|
判定三向量共勉：(abc)=0
- 一般式方程：$Ax+By+Cz+D=0$，$\boldsymbol n={A,B,C}$为平面的法向量，其中A,B,C不全为零
- 点法式方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$为平面上的任意取定的一点，$\boldsymbol n={A,B,C}$为平面的法向量，A,B,C不全为零
- 截距式方程：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$,其中a,b,c分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为零
-
一般式方程：$\begin{cases} A_1 x+B_1 x+C_1 z+D_1=0 \ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0\end{cases}$
该直线为两平面的交线，这里假设${A_1,B_1,C_1}$与${A_2,B_2,C_2}$不共线 - 对称式方程：$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$，其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上的任意取定的一点，$\boldsymbol s={l,m,n}$
- 参数式方程：$\begin{cases}x=x_0 +lt \ y=y_0+mt \ z=z_0+nt \end{cases},(x_0,y_0,z_0)$为直线上的任意取定的一点，$\boldsymbol s={l,m,n}\neq \boldsymbol 0$为直线的方向向量
设平面$\Pi_1:A_1 x=B_1 y+C_1 z+D_1=0,\Pi_2:A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0$，则
- 两平面平行：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$，其中若某分母为零，对应的分子也为零
- 两平面垂直：$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
- 两平面之间的夹角$\theta$由以下公式确定
$$\cos\theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A^2_1+B^2_1+C^2_1}+\sqrt{A^2_2+B^2_2+C^2_2}}, (0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2})$$
设直线$L_1:\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$，直线$L_2:\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$，则
- 两直线之间的夹角由如下公式确定：
$$\cos\theta=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l^2_1+m^2_1+n^2_1}+\sqrt{l^2_2+m^2_2+n^2_2}}, (0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2})$$
设平面$\Pi:Ax+By+Cz+D=0$，直线$L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$，则
- 平行:$Al+Bm+Cn=0$
- 垂直：$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$，其中若某分母为零，则对应的分子为零
- 夹角：
$$\sin\theta=\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2})$$
点$(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离为
点$(x_0,y_0,z_0)$到直线$\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$的距离为
设直线$L_1$与$L_2$的方向向量分别为$\boldsymbol s_1={l_1,m_1,n_1}$与$\boldsymbol s_2={l_2,m_2,n_2}$，点$A\in L_1$，点$B\in L_2$，则$L_1$与$L_2$间的距离为
由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线称为旋转面的母线，定直线叫做旋转曲面的轴
设有xOy面上的曲线$L:\begin{cases}f(x,y)=0 \ z=0 \end{cases}$，则
- 曲线L绕x轴旋转产生旋转面方程为
$$f(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0$$ 其中$\pm$号由L中y所允许的符号而定 - 曲线L绕y轴旋转产生旋转面方程为
$$f(\pm\sqrt{x^2+z^2},y)=0$$ 其中$\pm$号由L中x所允许的符号而定
平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线
-
准线为L$\begin{cases} F(x,y,z)=0 \ G(x,y,z)=0 \end{cases}$，母线的方向向量为{l,m,n}的柱面方程的建立：
先在准线L上任取一点$(x_0,y_0,z_0)$，则过点$(x_0,y_0,z_0)$的母线方程为$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$ 消去方程组$\begin{cases}F(x_0,y_0,z_0)=0 \ G(x_0,y_0,z_0)=0 \ \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} \end{cases}$中的$x_0,y_0,z_0$得到关于x,y,z的方程即为所求的柱面方程 -
准线为$L:\begin{cases}x=x(t)\y=y(t)\z=z(t)\end{cases}$，母线方向向量为{l,m,n}的柱面方程的建立 该柱面方程为$\begin{cases}x=x(t)+ls \ y=y(t)+ms \ z=z(t)+ns\end{cases}$，这里t,s均为参数
-
经常用到的是下面特例：设柱面的准线为xOy平面上的曲线$L:\begin{cases}f(x,y)=0 \ z=0 \end{cases}$，母线为平行于z轴的直线，则该柱面的方程为$S:f(x,y)=0$
类似地可建立母线为平行于x轴或y轴的柱面方程
- 圆柱面
$x^2+y^2=R^2,y^2+z^2=R^2,x^2=z^2=R^2$ - 椭圆柱面
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ - 抛物柱面
$y^2=2px$
- 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
- 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
- 双叶双曲面：$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
- 椭圆双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz(p>0)$
- 双曲抛物面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz(p>0)$
- 二次锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
空间曲线方程常见是以下两种形式
- 参数式：$\begin{cases}x=x(t)\y=y(t)\z=z(t)\end{cases}$
- 一般式（两曲面方程联立）:$\begin{cases}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0\end{cases}$
设有空间曲线$\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0\end{cases}$，先通过$\begin{cases}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0\end{cases}$消去z得$\varphi(x,y)=0$，则曲线$\Gamma$在xOy面上投影曲线方程包含在方程$\begin{cases}\varphi(x,y)=0\z=0\end{cases}$之中
要求曲线$\Gamma$在其他两个坐标面上投影方法完全类似
定义： 设D是平面上的一个点集，如果对每一个点$P(x,y)\in D$，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f(x,y)，其中点集D称为函数f(x,y)的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量，数集${z|z=f(x,y),(x,y)\in D}$称为函数z=f(x,y)的值域
类似地可以定义三元函数u=f(x,y,z)及三元以上的函数
空间点集${(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D}$称为二元函数z=f(x,y)的图形。通常情况下，二元函数z=f(x,y)的图形是一张曲面
定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，$P_0(x_0,y_0)$是D的内点或边界点，如果对任意给定的$\varepsilon>0,\exists\delta>0$，使得对不等式
且$P(x,y)\in D$的一切P(x,y)都有$|f(x,y)-A|<\varepsilon$，则称A为f(x,y)当$x\to x_0,y\to y_0$时的极限，记为$\lim\limits_{x\to x_0 , y\to t_0}f(x,y)=A$
定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，$P_0(x_0,y_0)$是D的内点或边界点，且$P_0\in D$，如果$\lim\limits_{x\to x_0 , y\to t_0}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数f(x,y)在点$P_0(x_0,y_0)$连续
多元函数有与一元函数完全类似的性质
- 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均是连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数
- （最大最小值定理）在有界闭区域D上的连续的函数，在该区域D上有最大值和最小值
- （介值定理）在有界闭区域D上连续的函数，可取到它在该区域上的最小值与最大值之间的任何值
一切多元初等函数在其定义区域内处处连续。这里的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域
定义 设函数z=f(x,y)在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，如果
类似地可定义 $$f'y(x_0,y_0)=\lim{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$
**注：**由以上定义不难看出偏导数本质上是一元函数的导数，事实上偏导数$f'_x(x_0,y_0)$就是一元函数$\varphi(x)=f(x,y_0)$在$x=x_0$处的导数，即 $$f'x(x_0,y_0)=\varphi'(x_0)=\frac{d}{dx}f(x,y_0)|{x=x_0}$$
而偏导数$f'_y(x_0,y_0)$也一样，即$f'_y(x_0,y_0)=\frac{d}{dy}f(x_0,y)|y=y_0$
偏导数$f'_x(x_0,y_0)$在几何上表示曲面z=f(x,y)与平面$y=y_0$的交线在点$M_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$处的切线$T_x$对x轴的斜率，$f'_x(x_0,y_0)=\tan \alpha$
偏导数$f'_y(x_0,y_0)$在几何上表示曲面z=f(x,y)与平面$x=x_0$的交线在点$M_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$处的切线$T_y$对y轴的斜率，$f'_y(x_0,y_0)=\tan \beta$
定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$可表示为
其中A,B不依赖于$\Delta x,\Delta y$，而仅与x,y有关，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微。而$A\Delta x+B\Delta y$称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的微分，记为
定理 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且
定理 如果函数z=f(x,y)的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$在点(x,y)处连续，则函数z=f(x,y)在该点可微
对二元函数z=f(x,y)，我们称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在，则二元函数的连续，可导及可微的关系是
- 连续和可导没有关系
- 连续推不出可微，可微能推出连续
- 可微能推出可导，可导推不出可微
- 可微推不出一阶偏导数连续，一阶偏导数连续能推出可微
一元函数三者的关系如下
- 连续不能推出可导，可导能推出连续
- 连续不能推出可微，可微能推出可导
- 可微和可导等价
多元函数的可导是指所有一阶偏导数存在，但这只代表了x轴，y轴，z轴等特定方向上的导数存在，而可微则要求在所有方向上的导数都存在
-
多元函数与一元函数的复合
如果函数$u=\varphi(t),v=\psi(t)$都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续一阶偏导数，则复合函数$z=f[\varphi(t),\psi(t)]$在点t可导，且$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$$
这里的$\frac{dz}{dt}$称为全导数 -
多元函数与多元函数的复合
如果函数$u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$在点(x,y)有对x,y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点有连续一阶偏导数，则复合函数$z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$在点(x,y)有对x,y的偏导数，且$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},,\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$
设函数z=f(u,v)和$u=\varphi(x,y),v=\psi(x,y)$都具有连续一阶偏导数，则复合函数$z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]$可微，且
由以上定理多元函数与多元函数的复合知，$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},,\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$将$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$代入上式得
由此可见，无论是把z看作自变量x和y的函数，还是把z看作中间变量u和v的函数，它的微分$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$和$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$具有同样的形式。这个性质叫全微分形式不变性
-
高阶偏导数的概念 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数， $$\frac{\partial z}{\partial x}=f'x(x,y),, \frac{\partial z}{\partial y}=f'y(x,y)$$ 如果$f'x(x,y)$和$f'y(x,y)$的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶导数。二阶导数有以下四个 $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=f''{xx}(x,y),,\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=f''{xy}(x,y)$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=f''{yx}(x,y),, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=f''{yy}(x,y)$$
其中$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$和$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$称为混合偏导数。类似地可以得到三阶、四阶……n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 -
混合偏导数与求导次序无关问题 若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$和$\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$在点$(x_0,y_0)$都连续，则在$(x_0,y_0)$点$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$
设F(x,y)有连续一阶偏导数，且$F'_y\neq 0$，则由方程F(x,y)=0确定的函数y=y(x)可导，且
设F(x,y,z)有连续一阶偏导数，且$F'_x\neq 0$，z=z(x,y)由方程F(x,y,z)=0所确定，则
设u=u(x),v=v(x)由方程组$\begin{cases}F(x,u,v)=0 \ G(x,u,v)=0 \end{cases}$所确定，要求$\frac{du}{dx}$和$\frac{dv}{dx}$，可通过原方程组两端对x求导得到，即 $$\begin{cases}F'_x+F'_u\frac{du}{dx}+F'_v\frac{dv}{dx}=0 \ G'_x+G'_u\frac{du}{dx}+G'_v\frac{dv}{dx}=0 \end{cases}$$
然后从以上方程组中解出$\frac{du}{dx}$和$\frac{dv}{dx}$，这里假设由形式解出的$\frac{du}{dx}$与$\frac{dv}{dx}$中的分母不为零
设$u=u(x,y),v=v(x,y)$由方程组$\begin{cases}F(x,y,u,v)=0 \ G(x,y,u,v)=0 \end{cases}$所确定，若要求$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial v}{\partial x}$可先对原方程组两端对x求偏导得到，即
$$\begin{cases}F'_x+F'_u\frac{\partial u}{\partial x}+F'_v\frac{\partial v}{\partial x}=0 \ G'_x+G'_u\frac{\partial u}{\partial x}+G'_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{cases}$$
然后从中解出$\frac{\partial u}{\partial x}$和$\frac{\partial v}{\partial x}$，同理可求得$\frac{\partial u}{\partial y}$和$\frac{\partial v}{\partial y}$，这里假设由形式解出的式子中的分母不为零
若存在$M_0(x_0,y_0)$点的某邻域$U_\delta(M_0)$，使得$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$），$\forall (x,y)\in U_\delta(M_0)$，则称f(x,y)在点$M_0(x_0,y_0)$取得极大值（极小值）$f(x_0,y_0)$，极大值与极小值统称为极值。点$M_0(x_0,y_0)$称为f(x,y)的极值点
凡能使$f'_x(x,y)=0,f'_y(x,y)=0$同时成立的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点
在不限定任何条件的情况下，驻点和极值点不能相互推出
设函数f(x,y)在点$M_0(x_0,y_0)$的一阶偏导数存在，且在$(x_0,y_0)$取得极值，则由此可见具有一阶偏导数的函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点
设函数z=f(x,y)在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有连续的二阶偏导数，且$f'x(x_0,y_0)=0,f'y(x_0,y_0)=0$，令$f''{xx}(x_0,y_0)=A,f''{xy}(x_0,y_0)=B,f''_{yy}(x_0,y_0)=C$，则
-
$AC-B^2>0$ 时，f(x,y)在点$(x_0,y_0)$取极值，且当A>0时取极小值，当A<0时取极大值 -
$AC-B^2<0$ 时，f(x,y)在点$(x_0,y_0)$无极值 -
$AC-B^2=0$ 时，不能确定f(x,y)在点$(x_0,y_0)$是否有极值，还需进一步讨论（一般用极值定义）
先构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$，然后解方程组 $$\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda\frac{\partial \varphi}{\partial x}=0 \ \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \ \frac{\partial F}{\partial \lambda}=\varphi(x,y)=0 \end{cases} $$
所有满足此方程组的解$(x,y,\lambda)$中(x,y)是函数f(x,y)在条件$\varphi(x,y)=0$下的可能的极值点
与上一条情况类似，构造拉格朗日函数
设l是xOy平面上以$P_0(x_0,y_0)$为视点的射线，e是与l同方向的单位向量，P(x,y)为l上一点，其中$x=x_0+t\cos\alpha,y=y_0+t\cos\beta(t\geq 0)$，如果极限
存在，则称此极限为f(x,y)在点$P_0(x_0,y_0)$处沿方向l的方向导数，记作$\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0,y_0)}$
如果函数f(x,y)在点$P_0(x_0,y_0)$处可微，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且有$\left. \frac{\partial f}{\partial l} \right|_{(x_0,y_0)}=f'_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f'_y(x_0,y_0)\cos\beta$其中$\cos\alpha,\cos\beta$为方向l的方向余弦
方向导数的定义及计算公式可推广到空间Oxyz的情形：
$$\left. \frac{\partial f}{\partial l}\right|{(x_0,y_0,z_0)}=\lim{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0)}{t}$$
设f(x,y,z)在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$可微，则有以下的计算公式：
其中$\boldsymbol e = {\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma}$为射线l方向的单位向量
设函数u=u(x,y)在区域D上有定义，点$P(x,y)\in D$，若存在向量A(x,y)，它所指的方向为u(x,y)在点P处各方向的方向导数取最大值的方向，它的模$|A(x,y)|$等于此方向导数的最大值，则称该向量$A(x,y)$为函数u(x,y)在点P(x,y)处的梯度，记为
设函数u=u(x,y)在区域D上具有连续的一阶偏导数，则有梯度的计算公式：
设$\boldsymbol e_i$为与l同方向的单位向量，显然有
上述诸项可推广到三元函数u=u(x,y,z)的情形，在类似的条件下，有
曲面方程常见的两种形式：F(x,y,z)=0或z=f(x,y)
-
设曲面$\sum$的方程为F(x,y,z)=0，并设点$(x_0,y_0,z_0)\in \sum$，三个偏导数$F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)$不同时为零（以后凡讲到法向量时均如此假定），则该曲面在点$(x_0,y_0,z_0)$处的法向量为
$$\boldsymbol n={F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)}$$ 过点$(x_0,y_0,z_0)$的切平面和发现方程分别为$$F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$ $$\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}$$ -
设曲面$\sum$的方程为z=f(x,y)，则该曲面方程可改写成f(x,y)-z=0 设f(x,y)在$(x_0,y_0)$处可导，由1.知，该曲面在点$(x_0,y_0,z_0)$处的法向量为$\boldsymbol n={f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0),-1}$ 切平面方程和法线方程与1.类似
- 设曲线$\Gamma$的方程为参数式：$\begin{cases}x=x(t) \ y=y(t) \ z=z(t)\end{cases}$，则该曲线在其上一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$（该点参数为$t_0$，并设$x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)$不同时为零）处的切向量为$\tau={x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)}$，则
1.
$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 点处的切线方程为$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$ 2.$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 点处的法平面方程为$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$ - 设曲线$\Gamma$的方程为一般式：$\begin{cases}F(x,y,z)=0 \ G(x,y,z)=0 \end{cases}$，则该曲线在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0在该点的法向量$\boldsymbol n_1$和$\boldsymbol n_2$的向量积，即切向量$\boldsymbol tau=\boldsymbol n_1 \times \boldsymbol n_2$，其中
$$\boldsymbol n_1={F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0)}$$ $$\boldsymbol n_2={G'_x(x_0,y_0,z_0),G'_y(x_0,y_0,z_0),G'_z(x_0,y_0,z_0)}$$ 记$\boldsymbol n_1 \times \boldsymbol n_2={A,B,C}$，则 1.$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 点的切线方程为$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$ 2.$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 点的法平面方程为$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
值得特别注意的是，关于曲面的切平面和法线问题，关键是曲面的法向量n；关于曲线的切线和和法平面问题，关键是曲线的切线向量$\tau$。因此会求n和$tau$是关键，以上给出的平面和直线公式不一定要硬背
设二元函数f(x,y)在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$内具有二阶连续偏导数，点$P(x,y)\in U(p_0)$，则存在$\theta \in(0,1)$，使得
设二元函数f(x,y)在点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域$U(P_0)$内具有二阶连续偏导数，点$P(x,y)\in U(P_0)$，则
- 对于多元函数来说，可导不一定连续；可导不一定可微；可导也不能推出沿任何方向方向导数都存在
-
二重积分定义 设z=f(x,y)是平面上有界闭区域D上的有界函数
$$\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\lim_{d\to 0}\sum^n_{k=1}f(\xi_k,\eta_k)\Delta\sigma_k$$ 其中d为n个小区域直径的最大值，$\Delta\sigma_k$为第k个小区域的面积 如果f(x,y)在D上连续，则$\iint\limits_D f(x,y)$总存在，以后总在此假定下讨论 -
二重积分的几何意义 若函数f(x,y)在区域D上连续且非负，则二重积分$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma$在几何上表示以区域D为为底，曲面z=f(x,y)为顶，侧面是以D的边界为准线、母线平行于z轴的柱面的曲顶柱体的体积，如图：
-
比较定理：如果在D上，$f(x,y)\leq g(x,y)$，则
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma\leq \iint\limits_D g(x,y)d\sigma$$ -
估值定理：设M,m分别为连续函数f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，S表示D的面积，则
$$mS\leq \iint\limits_D f(x,y)d\sigma\leq MS$$ -
中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，S为D的面积，则在D上至少存在一点$(\xi,\eta)$，使
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S$$
计算二重积分常用的有一下三种方法
-
在直角坐标系下计算
在直角坐标下计算二重积分关键是将二重积分化为累次积分，累次积分有两种次序，累次积分的次序往往根据积分域和被积函数来确定 1. 适合先y后x的积分域 若积分域D由不等式$\begin{cases}\varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x) \ a\leq x\leq b \end{cases}$确定，则该区域D上的二重积分适合化为先y后x的累次积分，且 $$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int^b_a dx\int^{\varphi_2(x)}{\varphi_1(x)}f(x,y)dy$$ 2. 适合先x后y的积分域 若积分域D有不等式$\begin{cases}\psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y) \ c\leq y\leq d \end{cases}$确定，则该区域D上的二重积分适合化成先x后y的累次积分，且 $$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int^d_c dy\int^{\psi_2(y)}{\psi_1(y)}f(x,y)dx$$ 如果遇到更复杂的积分区域，总可利用分别平行于两个坐标轴的直线将其划分成若干个以上两种区域进行计算
-
在极坐标下计算 在极坐标$(\rho,\theta)$中，一般是将二重积分化为先$\rho$后$\theta$的累次积分，常见的有以下四种情况： 1. 极点O在区域D之外，如图：
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int^\beta_\alpha d\theta\int^{\rho_2(\theta)}{\rho_1(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$
2. 极点O在区域D的边界上，如图：
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int^\beta\alpha d\theta\int^{\rho(\theta)}_{0}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$
3. 极点O在区域D的内部，如图：
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int^{2\pi}0 d\theta\int^{\rho_2(\theta)}{0}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$
4. 环形域，且极点O在环形域内部
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int^{2\pi}0 d\theta\int^{\rho_2(\theta)}{\rho_1(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$ -
利用对称性和奇偶性进行计算
常用的结论有以下两条： 1）利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性
- 若积分域D关于y轴对称，且被积函数f(x,y)关于x有奇偶性，则 $$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\sigma,& \text {f(x,y)关于x为偶函数，即f(-x,y)=f(x,y)} \ 0,& \text {f(x,y)关于x为奇函数，即f(-x,y)=-f(x,y)} \end{cases}$$ 其中$D_1$为D在y轴右侧的部分
- 若积分域D关于x轴对称，且被积函数f(x,y)关于x有奇偶性，则 $$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)d\sigma,& \text {f(x,y)关于y为偶函数，即f(-x,y)=f(x,y)} \ 0,& \text {f(x,y)关于y为奇函数，即f(-x,y)=-f(x,y)} \end{cases}$$ 其中$D_1$为D在y轴右侧的部分
2）利用变量的对称性
若积分域D关于直线y=x对称，换言之，表示积分域D的等式或不等式中将x与y对调后原等式或不等式不变，如，圆域$x^2+y^2\leq R^2$，正方形域$\begin{cases}0\leq x\leq 1 \0\leq y\leq 1 \end{cases}$，则
设f(x,y,z)是空间有界闭区域$\Omega$上的有界函数，$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits^n_{k=1}f(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)\Delta v_k$，其中$\lambda$为n个小区域直径的最大值，$(\xi_k,\eta_k,\zeta_k)$为$\Delta v_k$上的任一点
- 若f(x,y,z)=1,$\iiint\limits_\Omega dV=积分域\Omega 的体积$
- 若$\mu=f(x,y,z)$为空间体$\Omega$的体密度，则$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=空间物体\Omega 的质量$
与二重积分完全类似
四种方法
- 在直角坐标系下计算 1. 先一后二 设平行于z轴且穿过闭区域$\Omega$的直线与$\Omega$的边界曲面S相交不多于两点，$\Omega$在xOy面上投影域为D，以D的边界为准线，作母线平行于z轴的柱面，这柱面与曲面S中分出上下两部分，它们方程分别为$S_1:z=z_1(x,y),S_2:z=z_2(x,y)$，其中$z_1(x,y)\leq z_2(x,y)$，过D内任一点(x,y)作平行于z轴的直线通过曲面$S_1$进入$\Omega$内，然后通过曲面$S_2$穿出$\Omega$外，则 $$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=\iint\limits_D dxdy\int^{z_2(x,y)}{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz$$ 2. 先二后一 设空间闭区域$\Omega={(x,y,z)|(x,y)\in D_z,a\leq z\leq b}$，其中$D_z$为坐标为z的平面截闭区域$\Omega$所得到平面闭区域，则 $$\iiint\limits\Omega f(x,y,z)dV=\int^b_a dz\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)dxdy$$ 通常情况下，若f(x,y,z)仅仅是z的一元函数，且$D_z$的面积容易算，此时用以上先对x,y作二重积分再对z作单积分较为简单
- 在柱坐标下计算
柱坐标$(r,\theta,z)$与直角坐标的关系
$$\begin{cases} x=r\cos\theta,& 0\leq r<+\infty \ y=r\sin\theta,& 0\leq\theta\leq 2\pi \ z=z,& -\infty<z<+\infty \end{cases}$$
$$dV=rdrd\theta dz$$ $$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=\iiint\limits_\Omega f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz$$ 是否选用柱坐标计算三重积分应注意以下两点： 1. 适合用柱坐标计算的三重积分的被积函数一般应具有形式：$$f(x,y,z)=\varphi(z)g(x^2+y^2)$$ 3. 适合用柱坐标计算的三重积分的积分域一般应为柱体、锥体、柱面、锥面与其他曲面所围空间体等 - 在球坐标下计算
球坐标$(r,\varphi,\theta)$与直角坐标的关系
$$\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta,& 0\leq r<+\infty \ y=r\sin\varphi\sin\theta,& 0\leq\varphi\leq\pi \ z=r\cos\varphi,& 0\leq\theta\leq 2\pi \end{cases}$$
$$dV=r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta$$ $$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=\iiint\limits_\Omega f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta$$ 是否选用球坐标计算三重积分应注意以下两点： 1. 适合用球坐标计算的三重积分的被积函数一般应具有形式$$f(x,y,z)=\varphi(x^2+y^2+z^2)$$ 2. 适合用球坐标计算的三重积分的积分域一般应为球体、半球体、锥面与球面所围空间体等 - 利用对称性和奇偶性进行计算
1. 利用积分的对称性和被积函数的奇偶性
若积分域$\Omega$关于xOy坐标面对称，且被积函数f(x,y,z)关于z有奇偶性，则
$$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=\begin{cases}
2\iiint\limits_{\Omega_1} f(x,y,z)dV,& f(x,y,z)关于z是偶函数，即f(x,y,-z)=f(x,y,z) \
0,& f(x,y,z)关于z是奇函数，即f(x,y,-z)=-f(x,y,z)
\end{cases}$$
其中$\Omega_1$为$\Omega$在xOy面上侧的部分
当积分域关于yOz,xOz坐标面对称且函数由相应奇偶性由完全类似结论
2. 利用变量对称性
若将表示积分域$\Omega$的方程中的x和y对调后方程不变，则将被积分函数中x和y对调积分值不变，即
$$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV=\iiint\limits_\Omega f(y,x,z)dV$$
设L为xOy面上的分段光滑曲线弧段，f(x,y)为定义在L上的有界函数，则f(x,y)在L上对弧长的线积分为
与积分路径方向无关，即弧AB的线积分和弧BA的线积分相等
对弧长的线积分计算常用的有以下两种方法：
- 直接法
- 若曲线L用参数方程$\begin{cases}x=x(t) \ y=y(t)\end{cases} \alpha\leq t\leq\beta$，则
$$\int_L f(x,y)ds=\int^\beta_\alpha f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$$ - 若曲线L用直角坐标$y=y(x),a\leq x\leq b$表示，则
$$\int_L f(x,y)ds=\int^b_a f(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)}dx$$ - 若曲线L用极坐标方程$\rho=\rho(\theta),\alpha\leq\theta\leq\beta$给出，则
$$\int_L f(x,y)ds=\int^\beta_\alpha f(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)\sqrt{\rho^2+\rho'^2}d\theta$$
- 利用奇偶性和对称性
-
利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性
若积分曲线L关于y轴对称，且被积函数f(x,y)关于x有奇偶性，则 $$\int_L f(x,y)ds=\begin{cases} 2\int_{L_1}f(x,y)ds,& 当f(x,y)关于x为偶函数 \0,& 当f(x,y)关于x为奇函数 \end{cases}$$
其中$L_1$为L在y轴右侧的部分
若积分曲线关于x轴对称，完全类似
-
利用变量的对称性
若积分曲线$L_1$关于直线y=x对称，则$\int_L f(x,y)ds=\int_L f(y,x)ds$
设L为xOy面上从A到B的一段有向光滑曲线，P(x,y),Q(x,y)为L上的有界函数，则P,Q沿L对坐标的线积分为
其中$\lambda$为n个小弧段长度的最大值，其中$\Delta x_i$与$\Delta y_i$为有向弧段$\Delta s_i$分别在两坐标轴上的投影，如果P(x,y)与Q(x,y)在L上连续，则上述积分存在
与积分路径L的方向有关，即$\int_{L(\stackrel{\Large\frown}{AB})}P dx+Q dy=-\int_{L(\stackrel{\Large\frown}{AB})}P dx+Q dy$
平面上对坐标的线积分计算常用有以下四种方法
-
直接法 设平面光滑曲线段L：$\begin{cases} x=x(t) \ y=y(t) \end{cases}, t\in[\alpha,\beta]或t\in[\beta,\alpha]$，则
$$\int_L Pdx+Qdy = \int^\beta_\alpha [P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt$$ 这里下限$\alpha$对应L的起点，上限$beta$对应L的终点 -
利用格林公式 设闭区域D由分段光滑曲线L围成，P(x,y)及Q(x,y)在D上有连续一阶偏导数，则
$$\oint_L Pdx+Qdy=\iint\limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$$ 其中L是D的取正向的边界曲线（所谓L的正向是指有人沿L的某一方向前进时，区域D始终在他左侧） -
补线用格林公式 若要计算的线积分的积分曲线$L(\stackrel{\Large\frown}{AB})$不封闭，但直接法计算也不方便，此时可补一条曲线$L_1(\stackrel{\Large\frown}{BA})$，使原曲线变成封闭曲线，则
$$\int_{L(\stackrel{\Large\frown}{AB})}Pdx+Qdy=\oint_{L(\stackrel{\Large\frown}{AB})+L_1(\stackrel{\Large\frown}{BA})}Pdx+Qdy-\int_{L_1(\stackrel{\Large\frown}{BA})}Pdx+Qdy$$ 此时，对等式右侧第一项如果满足格林公式条件，则可用格林公式，第二项用直接法 -
利用线积分与路径无关 这里有两个问题，首先是如何判定所要计算的线积分与路径无关；其次是如果要计算的线积分与路径无关，此时如何去计算 1. 线积分与路径无关的判定 定理 设P(x,y),Q(x,y)在单连通域D上有连续一阶偏导数，则以下四条等价： 1. 线积分$\int Pdx+Qdy$与路径无关
2.$\oint_C Pdx+Qdy=0$ ，其中C为D中任一分段光滑闭曲线
3.$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\forall (x,y)\in D$
4. 存在可微函数F(x,y)，使$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dF(x,y)$
2. 与路径无关的线积分计算
计算与路径无关的线积分常用的有以下两种方法：
方法1 改换路径：通常取平行于坐标轴的折线 方法2 利用原函数：设F(x,y)是Pdx+Qdy的原函数，即Pdx+Qdy=dF(x,y)，则$$\int^{(B)}_{(A)}Pdx+Qdy=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1)$$ 其中L的起点为$A(x_1,y_1)$，终点为$B(x_2,y_2)$ 注意，求原函数F(x,y)常用的两种方法，即偏积分和凑微分
对线积分$\int \frac{ydx=xdy}{x^2+y^2}, P=\frac{y}{x^2+y^2}, Q=\frac{-x}{x^2+y^2}$，除原点(0,0)外，P,Q有连续一阶偏导数，且$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},(x,y)\neq (0,0)$，此时有以下两个结论：
- 沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零
- 沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等
事实上，线积分$\int_L \frac{(x-y)dx+(x+y)dy}{x^2+y^2}, \int_L \frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}, \int_L \frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}, \int_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$都属于这个类型
设$\Sigma$为分片光滑曲面片，f(x,y,z)为定义在$\Sigma$上的有界函数，f(x,y,z)在$\Sigma$上对面积的面积分为 $$\iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to 0}\sum^{n}{i=1}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$$ 其中$\Delta S_i$为第i个小曲面块的面积。如果f(x,y,z)在$\Sigma$上连续，则$\iint\limits{\Sigma}f(x,y,z)dS$存在
与曲面$\Sigma$的侧的选取无关，即$\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{-\Sigma}f(x,y,z)dS$，其中$-\Sigma$表示曲面$\Sigma$的另外一侧
对面积的面积分的计算常用的有以下两种方法：
设积分曲面$\Sigma$由方程z=z(x,y)给出，$\Sigma$在xOy面上的投影域为D，函数z(x,y)在D上有连续一阶偏导数，f(x,y,z)在$\Sigma$上连续，则
- 利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性 若积分曲面$\Sigma$关于xOy坐标面对称，且被积函数f(x,y,z)关于z有奇偶性，则 $$\iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\begin{cases} 2\iint\limits_{\Sigma_1}f(x,y,z)dS,& 当f(x,y,z)关于z为偶函数 \0, & 当f(x,y,z)关于z为奇函数 \end{cases}$$ 其中$\Sigma_1$为$\Sigma$在xOy坐标面以上的部分
当积分曲面$\Sigma$关于xOz坐标面对称，且被积函数f(x,y,z)关于y有奇偶性，或当积分曲面$\Sigma$关于yOz坐标面对称且被积函数f(x,y,z)关于x有奇偶性由相应的结论
- 利用变量的对称性 如果积分曲面$\Sigma$为方程中某两个变量对调其方程不变，则将被积函数中这两个变量对调积分值不变
设$\Sigma$为光滑有向曲面，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在$\Sigma$上有界，则 $$\iint\limits_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\lim_{\lambda\to 0}\sum^n_{i=1}[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i){yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i){zx}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i){xy}]$$ 其中$(\Delta S_i){yz}$表示有向曲面块$\Delta S_i$在yOz坐标面上的投影，$(\Delta S_i){zx},(\Delta S_i){xy}$类似。如果P,Q,R在$\Sigma$上连续，则$\iint\limits_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$存在
积分与曲面的侧有关，即
对坐标的曲面积分的计算常用的由以下三种方法
-
设有向曲面$\Sigma:x=x(y,z),(y,z)\in D_{yz}$，则
$$\iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)dydz=\pm\iint\limits_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz$$ 若有向曲面$\Sigma$的法向量与x轴正向的夹角为锐角，即右侧，上式中取+号，否则取-号 -
设有向曲面$\Sigma:y=y(z,x),(z,x)\in D_{zx}$，则
$$\iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)dzdx=\pm\iint\limits_{D_{zx}}Q(x,y(z,x),z)dzdx$$ 若有向曲面$\Sigma$的法向量与y轴正向的夹角为锐角，即右侧，上式中取+号，否则取-号 -
设有向曲面$\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$，则
$$\iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y(,z(x,y))dxdy$$ 若有向曲面$\Sigma$的法向量与y轴正向的夹角为锐角，即右侧，上式中取+号，否则取-号
按以上直接计算法计算形如
若有向曲面$\Sigma$由方程z=z(x,y)给出，$\Sigma$在xOy面上的投影域为$D_{xy},z(x,y)$在$D_{xy}$上有连续一阶偏导数，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在$\Sigma$上连续，则
设空间闭区域$\Omega$是由分片光滑的闭曲面$\Sigma$所围成，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在$\Omega$上有连续一阶偏导数，闭曲面$\Sigma$取外侧，则
若要计算的面积分的积分曲线$\Sigma$不封闭，且用直接法计算不方便，此时可补一块曲面$\Sigma_1$，使原曲面变成封闭曲面，则
设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，则称沿场中某有向曲面$\Sigma$的某一侧的面积分$\Phi = \iint\limits_{\Sigma}A\cdot dS$为向量场穿过曲面$\Sigma$这一侧的通量
设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P,Q,R有连续一阶偏导数，向量场A在点(x,y,z)处的散度的计算公式为
设有向量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P,Q,R有连续一阶偏导数，向量场A在点(x,y,z)处的旋度的计算公式为 $$\begin{vmatrix} i & j & k\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{vmatrix}$$
设有数列${u_n}$，则称$\sum\limits^{\infty}{n=1}u_n=u_1+u_2+...+u_n+...$为无穷级数。令$S_n=u_1+u_2+...+u_n(n=1,2,...)$，则称数列${S_n}$为级数$\sum\limits^\infty{n=1}u_n$的部分和数列，如果部分和数列$S_n$有极限S，即
如果${S_n}$没有极限，则称级数$\sum\limits^{\infty}_{n=1}u_n$发散
若级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$收敛于S，此时称$r_n=S-S_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...$为级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$的余部
显然，如果级数$\sum\limits^{\infty}{n=1}u_n$收敛，则$\lim\limits{n\to\infty}r_n=0$
- 设k为非零常数，则$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$与$\sum\limits^infty_{n=1}ku_n$同敛散
- 若$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n,\sum\limits^\infty_{n=1}v_n$分别收敛于$S,\sigma$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}(u_n\pm v_n)$收敛于$S\pm \sigma$ 1. 若$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$和$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n$中一个收敛，另一个发散，则$\sum\limits^\infty_{n=1}(u_n\pm v_n)$一定发散 2. 若$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$和$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n$都发散，则$\sum\limits^\infty_{n=1}(u_n\pm v_n)$可能收敛，也可能发散
- 改变级数前有限项不影响级数的敛散性
- 收敛级数加括号仍收敛，且和不变
- 级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$收敛的必要条件是$\lim\limits_{n\to \infty}u_n=0$ *若当$n\to\infty$时，$u_n$不以0为极限或无极限，则级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$发散
级数的判敛准则是分类给出的，通常把级数分为正项级数、交错级数和任意项级数三种类型
基本定理：正项级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$收敛$\Leftrightarrow$部分和数列$S_n$有界
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比较判别法 若$0\leq u_n\leq v_n$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n 收敛\Rightarrow \sum\limits^\infty_{n=1}u_n 收敛$;$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n 发散\Rightarrow \sum\limits^\infty_{n=1}v_n 发散$
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比较判别法的极限形式：设$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l,(0\leq l\leq +\infty)$ 1. 若$0<l<+\infty$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$与$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n$同敛散 2. 若l=0，则$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n收敛\Rightarrow \sum\limits^\infty_{n=1}u_n收敛$ 3. 若$l=+\infty$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n发散\Rightarrow \sum\limits^\infty_{n=1}u_n发散$
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比值判别法：设$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n \begin{cases}收敛 & 当\rho<1时 \发散 & 当\rho>1时 \不确定 & 当\rho=1时\end{cases}$
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根值判别法：设$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n \begin{cases}收敛 & 当\rho<1时 \发散 & 当\rho>1时 \不确定 & 当\rho=1时\end{cases}$
莱布尼茨判别准则：若（1）$u_n\geq u_{n+1}(n=1,2,...)$;(2)$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$，则级数$\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}u_n$收敛
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绝对收敛与条件收敛的概念 若级数$\sum\limits^\infty_{n=1}|u_n|$收敛，则称级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$绝对收敛
若级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$收敛，而级数$\sum\limits^\infty_{n=1}|u_n|$发散，则称级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$条件收敛 -
关于绝对收敛和条件收敛的基本结论 1. 绝对收敛的级数一定收敛，即$\sum\limits^\infty_{n=1}|u_n|收敛\Rightarrow \sum\limits^\infty_{n=1}u_n收敛$ 2. 条件收敛的级数所有正项（或负项）构成的级数一定发散 即：若级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$条件收敛，则$\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{u_n+|u_n|}{2}$和$\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{u_n-|u_n|}{2}$都发散
设k为非零常数，则$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$与$\sum\limits^\infty_{n=1}ku_n$同敛散
设$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0\leq l\leq +\infty)$
若$0<l<+\infty$，则$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n$与$\sum\limits^\infty_{n=1}v_n$同敛散
针对级数$\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^p}$，该级数在p>1时绝对收敛；在$0<p\leq 1$时条件收敛，在$p\leq 0$时发散
比值判别法是一个充分条件，不是必要条件，也就是说如果正项级数$\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$收敛，得不到极限$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在且小于1的结论；同样如果正项级数发散，也得不到$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在且大于1的结论
数列极限中的一个常用的结论：若$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a,则\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a$
- 当$p\leq 1$时，p级数发散
- 当$p>1$时，p级数收敛
几何级数也称等比级数,形式如下
- 当$|q|<1$时，级数收敛
- 当$|q|\geq 1$时，级数发散
设$u_1(x),u_2(x),...,u_n(x)$是定义在区间I上的函数序列，则称
若$x_0\in I$，函数项级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n(x_0)$收敛，则称$x_0$为$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n(x)$的收敛点，否则就称为发散点。所有收敛点构成的集合称为收敛域
函数项级数在收敛域内有和，其值域收敛点x有关，记为S(x)，S(x)称为级数$\sum\limits^\infty_{n=1}u_n(x)$的和函数，即$S(x)=\sum\limits^\infty_{n=1}u_n(x)$
形如$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n(x-x_0)^n$的函数项级数称为$(x-x_0)$的幂级数，特别地，当$x_0=0$时，$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$称为x的幂级数
如果级数$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$当$x=x^* (x^* \neq 0)$时收敛，则当$|x|<|x^* |$时，$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$绝对收敛，如果$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$当$x=x^$时发散，则当$|x|>|x^|$时$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$发散
幂级数$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$的收敛情况，有且仅有下述3种：
- 仅在x=0处该幂级数收敛，在$x\neq 0$时，该幂级数发散
- 对于$x\in (-\infty,+\infty)$，该幂级数都收敛且绝对收敛
- 存在R>0，当$x\in (-R,+R)$时，该幂级数收敛且绝对收敛，当$|x|>R$时该幂级数发散
为让上述三种情况统一，有下列定义
对于上述情况3.中的R>0，称为该幂级数的收敛半径；1.时称该幂级数的收敛半径为R=0；2.时称该幂级数的收敛半径为$R=+\infty$
当R>0时，开区间(-R,+R)称为该幂级数的收敛区间
由上述推论可知，一个幂级数的收敛半径总存在
在一定条件下，可以用下述定理来求收敛半径
设当n充分大时$a_n\neq 0$，并设$\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| =\rho$，则
- 若$\rho=+\infty$，则R=0
- 若$\rho=0$，则$R=+\infty$
- 若$0<\rho<+\infty$，则$R=\frac{1}{\rho}$
如果$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{|a_n|}=\rho$，则有定理2中1.，2.，3.的结论
若幂级数$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$的收敛半径为$R_1$，和函数为$S_1(x)$，而幂级数$\sum\limits^\infty_{n=0}b_n x^n$的收敛半径为$R_2$，和函数是$S_2(x)$，令$R=\min (R_1,R_2)$，则
$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n\pm \sum\limits^\infty_{n=0}b_n x^n=\sum\limits^\infty_{n=0}(a_n\pm b_n)x^n=S_1(x)\pm S_2(x),x\in(-R,R)$ -
$(\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n)(\sum\limits^\infty_{n=0}b_n x^n)=\sum\limits^\infty_{n=0}(a_0 b_n+a_1 b_{n+1}+...+a_n b_0)x^n$ =S_1(x)S_2(x),x\in(-R,R)$ - 设$b_0\neq 0,\frac{S_1(x)}{S_2(x)}=\frac{\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n}{\sum\limits^\infty_{n=0}b_n x^n}=c_0+c_1 x+...+c_n x^n+...$
其中$c_n$由$(\sum\limits^\infty_{n=0}b_n x^n)\cdot(\sum\limits^\infty_{n=0}c_n x^n)=\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$来确定
设幂级数$\sum\limits^\infty_{n=0}a_n x^n$的收敛半径为R>0，和函数为S(x)，则
- S(x)在(-R,R)上连续
- S(x)在(-R,R)上可导，且可逐项求导，即$S'(x)=\sum\limits^\infty_{n=1}na_n x^{n-1}$
- S(x)在(-R,R)内可积，且可逐项积分，即
$$\int^x_0 S(x)dx=\sum\limits^\infty_{n=0}\int^x_0 a_n x^ndx=\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}, (x\in(-R,R))$$
设f(x)在$x=x_0$处任意阶可导，则幂级数
当$x_0=0$时，级数$\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...$称为f(x)的麦克劳林级数
设f(x)在$x=x_0$处任意阶可导，则泰勒级数$\sum\limits^\infty_{n=0}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$在$|x-x_0|<R$内收敛于f(x)的充要条件是
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+...,x\in(-1,1)$ $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+...+(-1)^nx^n+...,x\in(-1,1)$ $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...,x\in(-\infty,+\infty)$ $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+...+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...,x\in(-\infty,+\infty)$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+...+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+...,x\in(-\infty,+\infty)$ $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+...,x\in(-1,1]$ $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+...,x\in (-1,1)$
以上1至6的六个展开式后面所给的区间均为收敛域（即收敛点的全体），7仅为收敛区间，7的收敛域要视$\alpha$的具体情况而定
若幂级数$\sum\limits^\infty_{n=0}=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$在x=b处条件收敛，则x=b为该幂级数收敛区间的一个端点
这里用到$\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$，这是一个常用的结论
三角函数系${1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,...,\cos nx,\sin nx,...}$在区间$[-\pi,\pi]$上正交，是指该函数系中任何两个不同函数积在$[-\pi,\pi]$上的积分为零，即
称
以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数$\frac{a_0}{2}+\sum\limits^{\infty}{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$称为函数f(x)的傅里叶级数，记为$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits^\infty{n=1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
设f(x)是以$2\pi$为周期的周期函数，且在$[-\pi,\pi]$上满足
- 除有限个第一类间断点外都连续
- 只有有限个极值点
则f(x)的傅里叶级数在$[-\pi,\pi]$上处处收敛，且收敛于
-
$f(x)$ ,当$x$为$f(x)$的连续点 -
$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$ ,当$x$为$f(x)$的间断点 -
$\frac{f(-\pi^+)+f(\pi^-)}{2}$ ,当$x=\pm\pi$
将周期为$2\pi$的函数展开为傅里叶级数分以下两步进行：
第一步：计算傅里叶系数$a_n,b_n$，并写出傅里叶级数
第二步：利用收敛性定理确定其傅里叶级数在$[-\pi,\pi]$上收敛的情况
关于傅里叶系数的计算通常有以下三种情况
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$[-\pi,\pi]$ 上展开 $$\begin{cases}a_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\cos nx dx, & n=0,1,2,..., \ b_n=\frac{1}{\pi}\int^\pi_{-\pi}f(x)\sin nxdx, & n=1,2,.., \end{cases}$$ -
$[-\pi,\pi]$ 上奇偶函数的展开 1）f(x)为奇函数： $$\begin{cases}a_n=0, & n=0,1,..., \ b_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_0 \sin nxdx, & n=1,2,...,\end{cases}$$
- f(x)为偶函数： $$\begin{cases}a_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_0 \cos nxdx, & n=0,1,..., \ b_n=0, & n=1,2,...,\end{cases}$$
- 在$[0,\pi]$上展开为正弦或展开为余弦级数 1）展开为正弦 $$\begin{cases}a_n=0, & n=0,1,..., \ b_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_0 \sin nxdx, & n=1,2,...,\end{cases}$$ 2）展开为余弦 $$\begin{cases}a_n=\frac{2}{\pi}\int^\pi_0 \cos nxdx, & n=0,1,..., \ b_n=0, & n=1,2,...,\end{cases}$$
展开也分两步，与周期为$2\pi$的函数相同 关于傅里叶系数的计算通常有以下三种情况：
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[-l,l]上展开 $$\begin{cases}a_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l} dx, & n=0,1,2,..., \ b_n=\frac{1}{l}\int^l_{-l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx, & n=1,2,.., \end{cases}$$
-
[-l,l]上奇偶函数的展开 1）f(x)为奇函数： $$\begin{cases}a_n=0, & n=0,1,2,..., \ b_n=\frac{2}{l}\int^l_0 f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx, & n=1,2,.., \end{cases}$$ 2）f(x)为偶函数： $$\begin{cases}a_n=\frac{2}{l}\int^l_0 f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx, & n=0,1,2,..., \ b_n=0, & n=1,2,.., \end{cases}$$
-
在[0,l]上展开为正弦或展开为余弦级数 1）展开为正弦 $$\begin{cases}a_n=0, & n=0,1,2,..., \ b_n=\frac{2}{l}\int^l_0 f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx, & n=1,2,.., \end{cases}$$ 2）展开为余弦 $$\begin{cases}a_n=\frac{2}{l}\int^l_0 f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx, & n=0,1,2,..., \ b_n=0, & n=1,2,.., \end{cases}$$
方程
设$y=\varphi(x)$在区间(a,b)上连续且有直到n阶的导数，使
如果含有n个独立的任意常数的函数
由初始条件确定通解中的任意常数得到的解或不含任意常数的解称特解
例如，设C是任意常数，容易验证，$y=-\frac{1}{x+C}$是微分方程$y'=y^2$的解，其中含有一个任意常数，所以$y=\frac{-1}{x+C}$是$y'=y^2$的通解，如果给初始条件$y(1)=-1$，得到特解$y=-\frac{1}{x}$，此解只能用于$(0,+\infty)$，而不能用于$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$，这是因为：$y=-\frac{1}{x}$定义的区间应该是使$y=-\frac{1}{x}$连续的一个区间；其次，这个区间应包含初值x=1在内
微分方程$\frac{dy}{dx}=h(x)g(y)$称变量可分离的方程，分离变量
微分方程
微分方程$y'+p(x)y=q(x)$称一阶线性微分方程。它的通解是
方程$y'+p(x)y=q(x)y^n(其中n\neq 0,n\neq 1)$称伯努利方程。原式化为$y^{-n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}=q(x)$，命$z=y^{1-n}$，得
若存在二元函数u(x,y)，使
可以由观察法找u(x,y)，或者在路径无关条件下找u(x,y)，或者区域D为边平行于坐标轴的矩形条件下，由折线法公式找u(x,y)
做两次积分就可得到它的通解
名$p=y',y''=\frac{dp}{dx}$，从而化为
名$p=y',y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$，从而化为
必须注意7与8的区别。作变量代换$y'=p$之后，对于7，$y''=\frac{dp}{dx}$，而对于8，$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$
方程
以上两个方程中，均设$a_i(x)(i=1,2,...,n)$与f(x)在某区间(a,b)内连续
设$y_1(x),...,y_m(x)$是定义在某区间(a,b)内的m个函数，如果存在不全为零的m个常数$k_1,...k_m$，使得
对于两个函数$y_1(x)$与$y_2(x)$线性无关等价于$y_1(x)$与$y_2(x)$之比不为常数
- 设$y^(x)$为(8.10)的一个解，$Y(x)$为(8.10)所对应的(8.11)的一个解，则$y=Y(x)+y^(x)$为(8.10)的解
- 设$y^_1(x)$与$y^_2(x)$为(8.10)的两个解，则$y=y^_1(x)-y^_2(x)$为(8.10)所对应的(8.11)的解
设$y_1(x),...,y_m(x)$是齐次线性方程(8.11)的m个解，则它们的线性组合
设$y_i(x)(i=1,2,...,n)$为n阶齐次线性方程(8.11)的n个线性无关的解，$C_i(i=1,2,...,n)$为n个任意常数，则
设$y^(x)$为(8.10)的一个解，$Y(x)$为(8.10)对应的(8.11)的通解，则 $$y=Y(x)+y^(x)$$ 为(8.10)的通解
设$y^i$为 $$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_i(x)$$ 的解(i=1,2)，则$y^_1(x)+y^*2(x)$为 $$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$
二阶常系数线性齐次方程可写成
| 特征方程$r^2+pr+q=0$的根 | 微分方程$y''+py'+qy=0$的通解 |
|---|---|
| 一对不相等的实根$r_1\neq r_2$ | |
| 一对相等的实根$r_1=r_2$ | |
| 一对共轭复根$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i,\beta>0$ |
类型1 方程$y''+py'+qy=P_m(x)e^{ax}$的解法（其中$P_m(x)$为x的m次已知多项式）：
第一步，写出对应的其次微分方程的通解Y(x)。
第二步，求该非齐次微分方程的特解$y^(x)$，命之如下： $$y^(x)=x^k Q_m(x)e^{ax}$$ 其中$Q_m(x)$为x的m次多项式，系数待定， $$k=\begin{cases}0,& 当a不是特征根时 \ 1,& 当a为单重特征根时\ 2,& 当a为二重特征根时\end{cases}$$
类型2 方程$y''+py'+qy=P_m(x)e^{ax}\cos bx$或$y''+py'+qy=Q_m(x)e^{ax}\sin bx$或$y''+py'+qy=P_m(x)e^{ax}\cos bx+Q_m(x)e^{ax}\sin bx$的解法（其中$P_m(x),Q_m(x)$为x的m次已知多项式）：
第一步，按上面1，写出对应的齐次微分方程的通解Y(x).
第二步，求该非齐次微分方程的特解$y^(x)$，命之如下： $$y^(x)=x^k(R_m(x)e^{ax}\cos bx+S_m(x)e^{ax}\sin bx)$$ 其中$R_m(x),S_m(x)$为x的m次多项式，系数待定， $$k=\begin{cases}0,& 当a+ib不是特征根时\ 1,& 当a+ib为单重特征根时\end{cases}$$
方程
若x>0，命$x=e^t$做自变量代换，有$t=\ln x$，从而$\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$，
若x<0，命$x=-e^t$，可依类似处理
设$p(x),q(x),f(x)(f(x)\neq 0)$为连续函数，考虑二阶线性非齐次方程
-
设$y_1(x),y_2(x),y_3(x)$是(8.22)的3个解，a,b,c是常数，并设
$$y=ay_1(x)+by_2(x)+cy_3(x), (8.24)$$ 则(8.24)是(8.22)的解的充要条件是$a+b+c=1$；(8.24)是(8.23)的解的充要条件是$a+b+c=0$ -
设$y_1(x),y_2(x),y_3(x)$是(8.22)的3个线性无关的解，a,b,c中两个为任意常数，则(8.24)是(8.22)的通解的充要条件是$a+b+c=1$；(8.24)是(8.23)的通解的充要条件是$a+b+c=0$
幂级数的收敛区间和收敛域不同，收敛区间是指(-R,R)这个开区间，R为收敛半径，而收敛域在收敛区间的基础上还需要判断两个端点是否收敛