update cagan_adaptive

Author: HumphreyYang

lectures/cagan_adaptive.md

@@ -112,15 +112,15 @@ $$
   \begin{bmatrix} \pi_0^* \cr 0 \cr 0 \cr \vdots \cr 0 \end{bmatrix}
 $$
 
-将此方程写成
+让我们将上述方程简洁地写成矩阵形式：
 
 $$
  A \pi^* = (1-\lambda) B \pi + \pi_0^*
 $$ (eq:eq1)
 
-其中 $(T+2) \times (T+2)$ 矩阵 $A$、$(T+2)\times (T+1)$ 矩阵 $B$ 以及向量 $\pi^* , \pi_0, \pi_0^*$ 通过对齐这两个方程隐式定义。
+其中 $A$ 是一个 $(T+2) \times (T+2)$ 矩阵，$B$ 是一个 $(T+2)\times (T+1)$ 矩阵，$\pi^*$、$\pi$ 和 $\pi_0^*$ 是相应的向量。这些矩阵和向量的具体形式可以通过比较上述两个等式得到。
 
-接下来，我们将关键方程 {eq}`eq:eqpipi` 写成矩阵形式
+现在，让我们将方程 {eq}`eq:eqpipi` 表示为矩阵形式
 
 $$ 
 \begin{bmatrix}
@@ -141,19 +141,19 @@ $$
   \end{bmatrix}
 $$
 
-用向量和矩阵表示上述方程系统
+让我们用向量和矩阵简洁地表示上述方程系统:
 
 $$
 \pi = \mu + C \pi^*
 $$ (eq:eq2)
 
-其中 $(T+1) \times (T+2)$ 矩阵 $C$ 隐式定义，以使此方程与前面的方程系统对齐。
+其中 $C$ 是一个 $(T+1) \times (T+2)$ 矩阵,其形式可以从前面的方程系统中看出。
 
-## 从矩阵表述中获得洞见
+## 求解模型
 
-我们现在拥有了求解 $\pi$ 作为 $\mu, \pi_0, \pi_0^*$ 函数所需的所有要素。
+现在我们有了求解 $\pi$ 作为 $\mu, \pi_0, \pi_0^*$ 函数所需的所有要素。
 
-结合方程 {eq}`eq:eq1` 和 {eq}`eq:eq2`，得到
+将方程 {eq}`eq:eq1` 和 {eq}`eq:eq2` 结合:
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -162,38 +162,39 @@ A \pi^* & = (1-\lambda) B \pi + \pi_0^* \cr
 \end{aligned}
 $$
 
-这意味着
+整理得到:
 
 $$
 \left[ A - (1-\lambda) B C \right] \pi^* = (1-\lambda) B \mu+ \pi_0^*
 $$
 
-将上述方程两边乘以左侧矩阵的逆，得到
+求解 $\pi^*$:
 
 $$
 \pi^* = \left[ A - (1-\lambda) B C \right]^{-1} \left[ (1-\lambda) B \mu+ \pi_0^* \right]
 $$ (eq:eq4)
 
-求解方程 {eq}`eq:eq4` 得到 $\pi^*$ 后，我们可以使用方程 {eq}`eq:eq2` 求解 $\pi$：
+有了 $\pi^*$,我们就可以从方程 {eq}`eq:eq2` 求出 $\pi$:
 
 $$
 \pi = \mu + C \pi^*
 $$
 
-我们因此解决了我们模型所决定的两个关键内生时间序列，即预期通货膨胀率序列 $\pi^*$ 和实际通货膨胀率序列 $\pi$。
+这样我们就解出了模型的两个关键内生变量序列:预期通货膨胀率 $\pi^*$ 和实际通货膨胀率 $\pi$。
 
-知道了这些，我们就可以从方程 {eq}`eq:eqfiscth1` 快速计算出相关的价格水平对数序列 $p$。
+有了这些,我们就可以从方程 {eq}`eq:eqfiscth1` 计算出价格水平对数序列 $p$。
 
-让我们填补这一步骤的细节。
+让我们来看看具体步骤。
 
-既然我们现在知道了 $\mu$，计算 $m$ 就很容易了。
+首先,已知 $\mu$,我们可以计算货币供应 $m$。
+
+注意到方程
 
-因此，注意到我们可以将方程
 $$ 
 m_{t+1} = m_t + \mu_t , \quad t = 0, 1, \ldots, T
 $$
 
-表示为矩阵方程
+可以写成矩阵形式:
 
 $$
 \begin{bmatrix}
@@ -215,7 +216,7 @@ m_0 \cr 0 \cr 0 \cr \vdots \cr 0 \cr 0
 \end{bmatrix}
 $$ (eq:eq101_ad)
 
-将方程 {eq}`eq:eq101_ad` 的两边都乘以左侧矩阵的逆矩阵，将得到
+将方程 {eq}`eq:eq101_ad` 的两边都乘以左侧矩阵的逆矩阵，我们得到
 
 $$
 m_t = m_0 + \sum_{s=0}^{t-1} \mu_s, \quad t =1, \ldots, T+1
@@ -241,29 +242,27 @@ $$
   \end{bmatrix},
  $$
 
-这只是去掉最后一个元素的 $\pi^*$。
+这是去掉最后一个元素的 $\pi^*$。
  
-## 预测误差
+## 预期与实际通货膨胀的差异
 
-我们的计算将验证
+在这个适应性预期模型中，人们的通货膨胀预期通常会与实际通货膨胀率不同。具体来说，我们的计算将显示：
 
 $$
 \hat \pi^* \neq  \pi,
 $$
 
-因此通常
+也就是说，对于任意时期 $t$，预期通货膨胀率与实际通货膨胀率不相等：
 
 $$ 
 \pi_t^* \neq \pi_t, \quad t = 0, 1, \ldots , T
 $$ (eq:notre)
 
-这种结果在包含像方程 {eq}`eq:adaptexpn` 这样的适应性预期假设作为组成部分的模型中很典型。
-
-在讲座 {doc}`价格水平的货币主义理论 <cagan_ree>` 中，我们研究了用"完美预见"或"理性预期"假设替代假设 {eq}`eq:adaptexpn` 的模型版本。
+这种预期误差是适应性预期模型的一个典型特征。在这类模型中，人们根据过去的经验逐步调整他们的预期，如方程 {eq}`eq:adaptexpn` 所示。
 
-但现在，让我们深入并用适应性预期版本的模型进行一些计算。
+这与我们在 {doc}`价格水平的货币主义理论 <cagan_ree>` 中研究的"完美预见"或"理性预期"版本形成对比。在那个版本中，人们能够完全准确地预测通货膨胀。
 
-像往常一样，我们将从导入一些 Python 模块开始。
+让我们通过一些数值实验来探索这个适应性预期版本的具体表现。首先，我们需要导入必要的Python模块：
 
 
 ```{code-cell} ipython3
@@ -288,23 +287,21 @@ def create_cagan_model(α, m0, Eπ0, T, λ):
 T = 80
 T1 = 60
 α = 5
-λ = 0.9   # 0.7
+λ = 0.9
 m0 = 1
 
 μ0 = 0.5
 μ_star = 0
 
 md = create_cagan_model(α=α, m0=m0, Eπ0=μ0, T=T, λ=λ)
 ```
-+++ {"user_expressions": []}
-
 
 我们用以下的函数来求解模型并且绘制这些变量。
 
 
 ```{code-cell} ipython3
 def solve(model, μ_seq):
-    " 在求解有限时间的凯根模型"
+    "在求解有限视界的凯根模型"
     
     model_params = model.α, model.m0, model.Eπ0, model.T, model.λ
     α, m0, Eπ0, T, λ = model_params
@@ -365,7 +362,7 @@ def solve_and_plot(model, μ_seq):
 
 +++ {"user_expressions": []}
 
-## 稳定性的技术条件
+## 稳定性的条件
 
 在构建我们的示例时，我们假设 $(\lambda, \alpha)$ 满足
 
@@ -383,7 +380,7 @@ $$
 
 通过确保 $\pi_t$ 的系数绝对值小于1，条件{eq}`eq:suffcond`保证了由我们推导过程最后一行描述的 $\{\pi_t\}$ 动态的稳定性。
 
-读者可以自由研究违反条件{eq}`eq:suffcond`的示例结果。
+读者可以尝试探索当条件{eq}`eq:suffcond`不满足时会发生什么情况。
 
 ```{code-cell} ipython3
 print(np.abs((λ - α*(1-λ))/(1 - α*(1-λ))))
@@ -397,11 +394,9 @@ print(λ - α*(1-λ))
 
 ### 实验1
 
-我们将研究一种情况，其中货币供应量的增长率从t=0到t=T_1时为$\mu_0$，然后在t=T_1时永久下降到$\mu^*$。
+让我们研究一个简单的货币政策变化场景：货币供应增长率最初维持在较高水平$\mu_0$，直到时间$T_1$时突然降至较低水平$\mu^*$并保持不变。
 
-因此，设$T_1 \in (0, T)$。
-
-所以当$\mu_0 > \mu^*$时，我们假设
+具体来说，假设$T_1$是介于0和$T$之间的某个时点，且$\mu_0 > \mu^*$。货币供应增长率的路径可以写为：
 
 $$
 \mu_{t+1} = \begin{cases}
@@ -410,9 +405,7 @@ $$
      \end{cases}
 $$
 
-注意，我们在这个讲座{doc}`货币主义价格水平理论<cagan_ree>`中的理性预期版本模型中研究了完全相同的实验。
-
-因此，通过比较这两个讲座的结果，我们可以了解假设适应性预期（如我们在这里所做的）而不是理性预期（如我们在另一个讲座中所假设的）的后果。
+这个实验与我们在{doc}`货币主义价格水平理论<cagan_ree>`讲座中分析的情形完全相同。通过对比两个讲座的结果，我们可以清楚地看到采用适应性预期（本讲座）和理性预期（前一讲座）这两种不同预期机制的影响。
 
 ```{code-cell} ipython3
 μ_seq_1 = np.append(μ0*np.ones(T1), μ_star*np.ones(T+1-T1))
@@ -421,19 +414,17 @@ $$
 π_seq_1, Eπ_seq_1, m_seq_1, p_seq_1 = solve_and_plot(md, μ_seq_1)
 ```
 
-我们邀请读者将结果与在另一讲座 {doc}`货币主义价格水平理论 <cagan_ree>` 中研究的理性预期下的结果进行比较。
-
-请注意实际通货膨胀率 $\pi_t$ 在时间 $T_1$ 货币供应增长率突然减少时如何"超调"其最终稳态值。
+让我们将这些结果与{doc}`货币主义价格水平理论 <cagan_ree>`讲座中的理性预期情形进行对比。
 
-我们邀请您向自己解释这种超调的来源，以及为什么在模型的理性预期版本中不会出现这种情况。
+值得注意的是,当货币供应增长率在时间$T_1$突然下降时,实际通货膨胀率$\pi_t$会"超调"其最终稳态值。这种超调现象在理性预期版本中并不存在,读者可以思考其背后的原因。
 
 ### 实验2
 
-现在我们将进行一个不同的实验，即渐进式稳定化，其中货币供应增长率从高值平稳下降到持续的低值。
+接下来我们考虑一个渐进式稳定化的情形,即货币供应增长率从高水平逐步平稳下降到一个较低的水平。
 
-虽然价格水平通货膨胀最终会下降，但它下降的速度比最终导致它下降的驱动力（即货币供应增长率的下降）要慢。
+在这种情况下,我们观察到价格水平的通货膨胀率虽然最终会下降,但其下降速度要慢于货币供应增长率的下降速度。
 
-通货膨胀缓慢下降的原因可以解释为在从高通胀向低通胀过渡期间，预期通货膨胀率 $\pi_t^*$ 持续高于实际通货膨胀率 $\pi_t$。
+这种通货膨胀率下降缓慢的现象可以归因于从高通胀向低通胀过渡期间,公众的预期通货膨胀率$\pi_t^*$始终高于实际通货膨胀率$\pi_t$。
 
 ```{code-cell} ipython3
 # 参数