revert changes on the scalar dynam

Author: HumphreyYang

lectures/scalar_dynam.md

@@ -25,19 +25,19 @@ kernelspec:
 在经济学中，许多变量依赖于它们的过去值。
 
 例如，我们有理由相信去年的通货膨胀会影响今年的通货膨胀。
-（也许去年的高通胀会导致人们要求更高的工资作为补偿，这将导致今年的价格进一步上涨。）
+（比如去年的高通胀会导致人们要求更高的工资作为补偿，导致今年的价格进一步上涨。）
 
 用$\pi_t$表示今年的通货膨胀率，$\pi_{t-1}$表示去年的通货膨胀率，我们可以用一般形式将这种关系写成：
 
 $$ \pi_t = f(\pi_{t-1}) $$
 
 其中$f$是描述变量之间关系的某个函数。
 
-该方程是一维离散时间动力系统的一个实例。
+这个方程是一维离散时间动力系统的典型例子。
 
-在本讲中，我们将介绍一维离散时间动力学的基础知识。
+在本讲中，我们将探讨一维离散时间动力学的基本原理。
 
-（尽管大多数定量模型有两个或更多的状态变量，一维框架仍是学习基础理论和理解核心概念的理想切入点。）
+（虽然实际经济模型通常包含两个或更多状态变量，但一维框架为我们理解基础理论和掌握核心概念提供了绝佳的起点。）
 
 让我们从一些标准导入开始：
 
@@ -47,44 +47,45 @@ import numpy as np
 ```
 ## 一些定义
 
-本节将界定我们的研究对象并阐明拟探讨的核心属性类别。
+本节将介绍我们要研究的对象和关键概念。
 
 ### 函数组合
 
-对于本讲，您应该了解以下内容：
+首先，让我们回顾一下函数组合的概念：
 
 如果
 
-* $g$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数，且
+* $g$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数，且
+* $f$ 是从集合 $B$ 到集合 $C$ 的函数
 
-* $f$ 是从 $B$ 到 $C$ 的函数，
-
-那么我们将 $f$ 和 $g$ 的**组合** $f \circ g$ 定义为
+那么 $f$ 和 $g$ 的**组合** $f \circ g$ 定义为
 
 $$ 
     (f \circ g)(x) = f(g(x))
 $$
 
-例如，如果
+举个简单的例子，如果
 
-* $A=B=C=\mathbb R$，即实数集，
+* $A=B=C=\mathbb R$（实数集）
+* $g(x)=x^2$ 且 $f(x)=\sqrt{x}$
 
-* $g(x)=x^2$ 且 $f(x)=\sqrt{x}$，那么 $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2} = |x|$。
+那么 $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2} = |x|$
 
-如果 $f$ 是从 $A$ 到其自身的函数，那么 $f^2$ 是 $f$ 与自身的组合。
+当函数映射到自身的集合时，我们可以定义函数的多次组合。如果 $f$ 是从集合 $A$ 到自身的函数，那么 $f^2$ 表示 $f$ 与自身的组合。
 
-例如，如果 $A = (0, \infty)$，即正数集，且 $f(x) = \sqrt{x}$，那么
+例如，当 $A = (0, \infty)$（正实数集）且 $f(x) = \sqrt{x}$ 时，我们有
 
 $$
     f^2(x) = \sqrt{\sqrt{x}} = x^{1/4}
 $$
 
-同样，如果 $n$ 是正整数，那么 $f^n$ 是 $f$ 与自身的 $n$ 次组合。
+更一般地，对于任意正整数 $n$，$f^n$ 表示 $f$ 与自身的 $n$ 次组合。
 
 在上面的例子中，$f^n(x) = x^{1/(2^n)}$。
 
 ### 动态系统
-**（离散时间）动态系统**是一个集合 $S$ 和一个将集合 $S$ 映射回自身的函数 $g$。
+
+**（离散时间）动态系统**由一个集合 $S$ 和一个将 $S$ 映射到自身的函数 $g$ 组成。
 
 动态系统的例子包括：
 
@@ -94,11 +95,11 @@ $$
 
 * $S = \mathbb Z$（整数集）且 $g(x) = 2 x$
 
-另一方面，如果 $S = (-1, 1)$ 且 $g(x) = x+1$，那么 $S$ 和 $g$ 不构成动态系统，因为 $g(1) = 2$。
+如果 $S = (-1, 1)$ 且 $g(x) = x+1$，那么 $S$ 和 $g$ 不构成动态系统，因为 $g(1) = 2$。
 
-* $g$ 并不总是将 $S$ 中的点映射回 $S$。
+* 即 $g$ 并不总是将 $S$ 中的点映射回 $S$。
 
-关注动力系统之必要性，究其根本在于可借助其探究动力学本质特性！
+研究动态系统的重要性在于它们能帮助我们理解和分析动态过程的基本特性。
 
 给定由集合 $S$ 和函数 $g$ 组成的动态系统，我们可以通过设定
 
@@ -110,7 +111,7 @@ $$
     x_0 \text{给定}
 ```
 
-来创建 $S$ 中点的序列 $\{x_t\}$。
+来创建由 $S$ 中点组成的序列 $\{x_t\}$。
 
 这意味着我们选择 $S$ 中的某个数 $x_0$，然后取
 
@@ -128,6 +129,7 @@ $$
 
 回想一下 $g^n$ 是 $g$ 与自身的 $n$ 次组合，
 我们可以更简单地将轨迹写为
+
 $$
     x_t = g^t(x_0) \quad \text{对于} t = 0, 1, 2, \ldots
 $$
@@ -136,18 +138,20 @@ $$
 
 方程 {eq}`sdsod` 有时被称为**一阶差分方程**
 
-* 一阶意味着只依赖于一个滞后（即，像 $x_{t-1}$ 这样的早期状态不会出现在 {eq}`sdsod` 中）。
+* 一阶意味着只依赖于一个滞后（即，像 $x_{t-1}$ 这样的更早期的状态不会出现在 {eq}`sdsod` 中）。
 
 ### 示例：线性模型
 
-动态系统的一个典型例子是状态空间 $S=\mathbb R$ 且映射函数 $g(x)=ax + b$ ，其中 $a, b$ 是常数（有时称为"参数"）。
+动态系统的一个典型例子是状态空间 $S=\mathbb R$ 与映射函数 $g(x)=ax + b$ ，其中 $a, b$ 是常数（有时称为"参数"）。
 
 由此可得**线性差分方程**
+
 $$
     x_{t+1} = a x_t + b 
     \quad \text{其中}
     x_0 \text{已给定}。
 $$
+
 其中$x_0$ 的轨迹是
 
 ```{math}
@@ -164,20 +168,19 @@ a^2 x_0 + a b + b, \quad \text{等等}
 :label: sdslinmod
 
     x_t = a^t x_0 + b \frac{1 - a^t}{1 - a}
-    
 ```
 
-对于所有非负整数 $t$，均可求得 $x_t$ 的精确解析式，从而充分把握系统动力学特性。
+我们可以对任意非负整数 $t$ 求出 $x_t$ 的精确表达式，这让我们能够完全理解系统的动态特性。
 
-特别注意，如果 $|a| < 1$，那么根据上式，我们有
+值得注意的是，当 $|a| < 1$ 时，根据上面的公式，我们得到
 
 ```{math}
 :label: sdslinmodc
 
 x_t \to  \frac{b}{1 - a} \text{ 当 } t \to \infty
 ```
 
-无论 $x_0$ 为何值。
+无论起点 $x_0$ 为何值。
 
 这是被称为全局稳定性的一个例子，我们将在后面再次讨论这个话题。
 
@@ -461,6 +464,7 @@ ts_plot(g, xmin, xmax, k0, var='k')
 尽管索洛-斯旺模型是非线性的，它仍然能生成非常规律的动态。
 
 **二次映射**是一个能生成不规则动态的模型
+
 $$
 g(x) = 4 x (1 - x),
 \qquad x \in [0, 1]
@@ -476,12 +480,14 @@ g = lambda x: 4 * x * (1 - x)
 x0 = 0.3
 plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=0)
 ```
-现在让我们来看一个典型的轨迹。
+
+现在让我们来看一个特定的轨迹。
 
 ```{code-cell} ipython
 plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=6)
 ```
-注意它是多么不规则。
+
+注意这个轨迹的不规则性。这种混沌行为是二次映射的典型特征。
 
 这是相应的时序图。
 
@@ -505,7 +511,7 @@ ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=20)
 
 当 $|a| < 1$ 时，该稳态是全局稳定的。
 
-尝试通过考虑一系列初始条件，并用图像来说明这一点。
+请通过选择不同的初始条件并绘制相应的图像来验证这一性质。
 
 在 $a \in (-1, 0)$ 和 $a \in (0, 1)$ 的情况下，你注意到了什么区别？
 
@@ -558,17 +564,18 @@ g = lambda x: a * x + b
 x0 = -0.5
 plot45(g, xmin, xmax, x0, num_arrows=5)
 ```
+
 以上是相应的时间序列，它收敛于稳态。
 
 ```{code-cell} ipython
 ts_plot(g, xmin, xmax, x0, ts_length=10)
 ```
 
-我们再次观察到收敛于稳态的情况，但收敛的性质有所不同。
+我们同样观察到序列收敛到稳态，但收敛方式明显不同。
 
-特别是，时间序列在稳态上方和下方来回跳跃。
+这次时间序列不是单调收敛，而是在稳态值的上下来回波动，逐渐接近稳态。
 
-在当前的语境中，这个序列被称为呈现**阻尼振荡**。
+这种在接近稳态过程中振幅逐渐减小的波动模式，在动力系统中被称为**阻尼振荡**。
 
 ```{solution-end}
 ```