Bloom Filter 简介

[Pines-Cheng]

Bloom Filter 是由 Bloom 在 1970 年提出的一种多哈希函数映射的快速查找算法。通常应用在一些需要快速判断某个元素是否属于集合，但是并不严格要求 100% 正确的场合。

它实际上是一个很长的二进制向量和一系列随机映射函数。布隆过滤器可以用于检索一个元素是否在一个集合中。它的优点是空间效率和查询时间都远远超过一般的算法，缺点是有一定的误识别率和删除困难。

Bloom Filter 是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter 的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。因此，Bloom Filter 不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter 通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

适用场景

• 黑名单
• 爬虫重复URL检测
• 字典纠缠
• 磁盘文件检测
• CDN（squid）代理缓存技术

以爬虫重复 URL 举例：

假设要你写一个网络蜘蛛（web crawler）。由于网络间的链接错综复杂，蜘蛛在网络间爬行很可能会形成 “环”。为了避免形成 “环”，就需要知道蜘蛛已经访问过那些 URL。给一个 URL，怎样知道蜘蛛是否已经访问过呢？稍微想想，就会有如下几种方案：

1. 将访问过的 URL 保存到数据库。

2. 用 HashSet 将访问过的URL保存起来。那只需接近 O(1) 的代价就可以查到一个 URL 是否被访问过了。

3. URL 经过 MD5 或 SHA-1 等单向哈希后再保存到 HashSet 或数据库。

4. Bit-Map方法。建立一个 BitSet，将每个 URL 经过一个哈希函数映射到某一位。

方法1~3都是将访问过的URL完整保存，方法4则只标记URL的一个映射位。

以上方法在数据量较小的情况下都能完美解决问题，但是当数据量变得非常庞大时问题就来了。

• 方法 1 的缺点：数据量变得非常庞大后关系型数据库查询的效率会变得很低。而且每来一个URL就启动一次数据库查询是不是太小题大做了？

• 方法 2 的缺点：太消耗内存。随着 URL 的增多，占用的内存会越来越多。就算只有 1 亿个 URL，每个 URL 只算 50 个字符，就需要 5GB 内存。

• 方法 3：由于字符串经过MD5处理后的信息摘要长度只有 128Bit，SHA-1 处理后也只有 160Bit，因此方法3比方法2节省了好几倍的内存。128Bit = 16 字节，散列表（hash table） 的存储效率一般只有 50%，因此一个 URL 要占用 32字节，一亿个地址需要占用 3.2 GB，存储几十亿个地址就需要上百 GB ，一般的服务器是存不下的。

• 方法 4 消耗内存是相对较少的，但缺点是单一哈希函数发生冲突的概率太高。还记得数据结构课上学过的 Hash表冲突的各种解决方法么？若要降低冲突发生的概率到 1%，就要将 BitSet 的长度设置为 URL 个数的 100 倍。

实质上上面的算法都忽略了一个重要的隐含条件：允许小概率的出错，不一定要 100% 准确！也就是说少量 URL 实际上没有没网络蜘蛛访问，而将它们错判为已访问的代价是很小的——大不了少抓几个网页呗。

方法四的致命缺点是冲突概率高，为了降低冲突的概念，Bloom Filter 使用了 多个哈希函数（Hash Function），而不是一个。

Hash Function（散列函数 又称 散列算法、哈希函数）

在讲到 Bloom Filter 算法 之前，不得不提一下 哈希函数。

哈希函数不是指某种特定的函数，而是一类函数，它有各种各样的实现。

散列函数（英语：Hash function）又称散列算法、哈希函数，是一种从任何一种数据中创建小的数字“指纹”的方法。散列函数把消息或数据压缩成摘要，使得数据量变小，将数据的格式固定下来。该函数将数据打乱混合，重新创建一个叫做散列值（hash values，hash codes，hash sums，或hashes）的指纹。散列值通常用一个短的随机字母和数字组成的字符串来代表。好的散列函数在输入域中很少出现散列冲突。在散列表（Hash table，也叫哈希表）和数据处理中，不抑制冲突来区别数据，会使得数据库记录更难找到。

特性

1. 定义里面讲的是哈希函数接收任意长度的输入，但在实际实现中，大家都会指明一个具体可接收的阈值，例如SHA-2最高接受(2^64-1)/8长度的字节字符串。此处需要理解的是哈希函数拥有较为庞大的输入值域，它 接受长度非常长的输入值。
2. 产生固定长度的输出值。
3. 不可逆性，已知哈希函数fn与x的哈希值无法反向求出x，当然这里的 不可逆是指计算上行不通，正着算很好算，反着算在当前的计算机计算能力条件下做不到。
4. 对于特定的哈希函数，只要 输入值不变，那么输出的值也是唯一不变的。
5. 哈希函数的 计算时间不应过长，即通过输入值求出输出值的时间不宜过长。
6. 无冲突性，即对于输入值x，与哈希函数fn，无法求出一个值y，使得x与y的哈希值相等。但是由于上文我们知道，由于哈希函数实际上代表着一种映射（对应关系），将一个大区间上的数值映射到一个小区间上，它一定是有冲突的，这里的无冲突同样是指 “求冲突在计算上行不通” ，正向地计算很容易，但是反向的计算在当前的计算机能力条件下做不到，但是这种冲突的概率发生了怎么办我们后面再说。
7. 即使修改了输入值的一个比特位，也会使得输出值发送巨大的变化。
8. 哈希函数产生的映射应当保持均匀，即不要使得映射结果堆积在小区间的某一块区域。

常用hash生成方法

常用的散列函数构造有7种方法：

1. 直接定址法
2. 数字分析法
3. 平方取中法
4. 除留余数法
5. 相乘取整法
6. 伪随机数法
7. 折叠法

直接寻址法

取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。

即Hash(key) = key 或Hash(key) = a * key + b，其中 a,b 为常数。

数字分析法

分析一组数据，比如某班学生的出生年月日发现出生年月日的前几位数字大体相同，这样的话，冲突的几率会很大，但是发现年月日的后几位表示月份和具体日期的数字差别较大，如果用后几位构成散列地址，则冲突的几率会明显降低。因此数字分析法是找出数字的规律，尽可能利用这些数字构造冲突几率低的散列地址。

平方取中法

具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。

【例】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得 (0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)

若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：(100，121，201，020，123)。

相应的散列函数用C实现很简单：

int Hash(int key){ //假设key是4位整数
  key *= key;
  key /= 100;       //先求平方值，后去掉末尾的两位数
  return key ％ 1000; //取中间三位数作为散列地址返回
}

除余法

该方法是最为简单常用的一种方法。它是以表长m来除关键字，取其余数作为散列地址，即 h(key)=key％m
该方法的关键是选取 m。选取的 m 应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m 最好为素数。

【例】若选 m 是关键字的基数的幂次，则就等于是选择关键字的最后若干位数字作为地址，而与高位无关。于是高位不同而低位相同的关键字均互为同义词。

【例】若关键字是十进制整数，其基为10，则当m=100时，159，259，359，…，等均互为同义词。

相乘取整法

该方法包括两个步骤：首先用关键字key乘上某个常数A(0<A<1)，并抽取出key.A的小数部分；然后用m乘以该小数后取整。即：

该方法最大的优点是选取m不再像除余法那样关键。比如，完全可选择它是2的整数次幂。虽然该方法对任何A的值都适用，但对某些值效果会更好。

该函数的C代码为：

int Hash(int key){
   double d=key *A; //不妨设A和m已有定义
   return (int)(m*(d-(int)d));//(int)表示强制转换后面的表达式为整数
}

随机数法

选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即：h(key) = random(key)

其中 random 为伪随机函数，但要保证函数值是在 0 到 m-1 之间。

折叠法

将关键字分割成位数相同的几个部分（最后一部分位数可以不同），然后取这几个部分的叠加和（舍弃进位）作为哈希地址。

关键字位数很多，而且关键字中每一位数字分布大致均匀时，可以采用折叠法。

处理hash冲突

哈希函数是指如何对关键字进行编址的，这里的关键字的范围很广，可视为无限集，如何保证无限集的原数据在编址的时候不会出现重复呢？规则本身无法实现这个目的。

再哈希法

当散列表较满时，冲突增加，插入可能失败。于是建立另外一个大约两倍大的散列表（而且使用新的散列函数），扫描原来散列表，计算每个未删除元素的新的散列值，并将其插入到新表中。

缺点：这是非常昂贵的操作，运行时间O(N)，不过再散列不是经常发生，实际效果没那么差。

链地址法

将所有关键字为同义词的记录存储在同一线性链表中。如下：

建立一个公共溢出区（比较常见于实际操作中）

假设哈希函数的值域为 [0,m-1] ,则设向量 HashTable[0..m-1] 为基本表，另外设立存储空间向量OverTable[0..v]用以存储发生冲突的记录。

经过以上方法，基本可以解决掉hash算法冲突的问题。

还有许多用于散列表的方法，比如散列函数不好或装填因子过大，都会使堆积现象加剧。为了减少堆积的发生，不能像线性探查法那样探查一个顺序的地址序列(相当于顺序查找)，而应使探查序列跳跃式地散列在整个散列表中。衍生出二次探查法，双重散列表法。

衍生阅读：HashMap 的实现原理

Bloom Filter 算法

Bloom Filter算法如下：

创建一个 m 位 BitSet，先将所有位初始化为 0，然后选择 k 个不同的哈希函数。第 i 个哈希函数对字符串str 哈希的结果记为 h（i，str），且h（i，str）的范围是 0 到 m-1 。

初始化时，Bloom Filter是一个包含 m 位的位数组，每一位都置为 0

加入元素过程

下面是每个元素处理的过程，首先是将元素str “记录” 到 BitSet 中的过程：

对于元素 str，分别计算 h（1，str），h（2，str）…… h（k，str）。然后将 BitSet 的第h（1，str）、h（2，str）…… h（k，str）位设为1。原先为1的保持为1，为 0 设置为 1。

Bloom Filter 加入字符串过程,将字符串映射到 BitSet 中 K 个二进制位了

检查元素串是否属于集合的过程

对于元素 str，分别计算对 str 进行 k 次哈希函数，h（1，str），h（2，str）…… h（k，str）。如果BitSet的第h（1，str）、h（2，str）…… h（k，str）位都是 1 ，则可以认为 str 是集合中的元素。

Bloom Filter加入检测是否包含过程；y1 不属于，y2 属于（存在 false positive 情况）

伪代码

public class BloomFilter{
    private bit[] bitSet = new bit[N];
    public void add(Object element){
      int[] hashValues = getHashValues(element);
      for(int i : hashValues){
         bitSet[i] = 1;
      }
    }
    public boolean contains(Object element){
        int[] hashValues = getHashValues(element);
        for(int i : hashValues){
           if(bitSet[i] != 1) return false;
        }
        return true;
    }
 }

那么问题来了，Bloom Filter 的错误率如何估算？哈希函数个数如何计算？位数组的初始大小如何计算？

计算过程参考

Bloom Filters - the math

Bloom Filter概念和原理

既然 Bloom Filter 要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到 0 的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的 0 就多。

哈希函数个数 k、位数组大小 m、加入元素数量 n 的关系可以参考 Bloom Filters - the math。该文献证明了对于给定的 m、n，当 k = ln(2)* m/n 时出错的概率是最小的。

错误率公式

一般在 位数组给到 集合的 10 倍时，k 选 7 个 hash 函数，错误率在 0.00819 左右；其他倍数、和错误率的对应关系可以参考 Bloom Filters - the math 给的对应表格。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter 在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用 Bloom Filter 判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter 通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

Bloom Filter 的实现过程已经非常简单了，唯一的计算在于伪随机散列函数的计算上；google guava 里面的 bloom 过滤器源码里面提到如何用更少的 Hashing 计算实现同样效果，具体见 Adam Kirsch and Michael的论文 Less Hashing, Same Performance:Building a Better Bloom Filter

参考

• Bloom Filter 概念和原理
• 哈希碰撞与生日攻击
• BloomFilter原理，实现及优化
• Python3网络爬虫开发实战
• Bloom Filters - the math
• Hash Functions and Block Ciphers