Aula18_TLC_interativo-vf.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "___\n",
    "#  Teorema do Limite Central - Interativo\n",
    "___\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Atenção:** Precisa ser rodado no `Jupyter Notebook`. O `Jupyter Lab` ainda não suporta interação"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "___\n",
    "### Distribuição amostral da média:\n",
    "\n",
    "Assuma que $X$ seja uma variável aleatória com média $\\mu$ e variância $\\sigma^2$, ou seja, $E(X)=\\mu$ e $Var(X)=\\sigma^2$.\n",
    "\n",
    "Dado $X_i$ uma variável aleatória *i.i.d.* (independente e identicamente distribuída) a $X$ com distribuição **normal**, tem-se que:\n",
    "\n",
    "$$\\bar{X}=\\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}=\\frac{\\sum_{i=1}^n X_i}{n} \\sim N\\left(\\mu,\\frac{\\sigma^2}{n}\\right),$$\n",
    "\n",
    "para qualquer $n$, essa distribuição é exata normal.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "### Teorema do Limite Central:\n",
    "\n",
    "Assuma que $X$ seja uma variável aleatória com média $\\mu$ e variância $\\sigma^2$, ou seja, $E(X)=\\mu$ e $Var(X)=\\sigma^2$.\n",
    "\n",
    "Dado $X_i$ uma variável aleatória *i.i.d.* (independente e identicamente distribuída) a $X$ com distribuição **qualquer**, tem-se que:\n",
    "\n",
    "$$\\bar{X}=\\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}=\\frac{\\sum_{i=1}^n X_i}{n} \\sim N\\left(\\mu,\\frac{\\sigma^2}{n}\\right),$$\n",
    "\n",
    "quando $n$ for suficientemente grande.\n",
    "\n",
    "*Obs:* Em alguns casos específicos, pode-se considerar $X_i$ com distribuições diferentes ou com certa dependência entre elas."
   ]
  },
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   "execution_count": 11,
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   "outputs": [],
   "source": [
    "from scipy import stats\n",
    "\n",
    "%matplotlib inline\n",
    "%reset -f\n",
    "\n",
    "from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual\n",
    "import ipywidgets as widgets\n",
    "\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
    "import pandas as pd\n",
    "import numpy as np\n",
    "from scipy import stats"
   ]
  },
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   "execution_count": 12,
   "metadata": {
    "scrolled": false
   },
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    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "\n",
      "\n",
      "INPUT DA SIMULAÇÃO:\n",
      "   Escolha a distribuição da variável de interesse X e um valor para o tamanho da amostra: \n",
      "\n"
     ]
    },
    {
     "data": {
      "application/vnd.jupyter.widget-view+json": {
       "model_id": "b1d846bbf0c04045bb8c1676a9b06391",
       "version_major": 2,
       "version_minor": 0
      },
      "text/plain": [
       "interactive(children=(Dropdown(description='distribuição', index=5, options=('beta', 'chi2', 'expon', 'f', 'ga…"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "func = {'norm': stats.norm, 'expon': stats.expon, 'uniform': stats.uniform, 't': stats.t, \n",
    "        'chi2': stats.chi2, 'f': stats.f, 'gamma': stats.gamma, 'beta': stats.beta}\n",
    "\n",
    "#Se não visualizar o pywidgets:\n",
    "#conda install -c conda-forge ipywidgets\n",
    "\n",
    "print(f'\\n\\nINPUT DA SIMULAÇÃO:\\n' \n",
    "      f'   Escolha a distribuição da variável de interesse X e um valor para o tamanho da amostra: \\n')\n",
    "\n",
    "#Função que utiliza o pywidget\n",
    "@interact(n = (1, 50, 1), distribuição = sorted(list(func.keys())))\n",
    "def f(distribuição = 'norm', n = 1):\n",
    "    \n",
    "    size = 10000\n",
    "    loc = 0\n",
    "    scale = 1\n",
    "    \n",
    "    arg = {'loc': loc, 'scale': scale}\n",
    "    \n",
    "\n",
    "    #Cada distribuição tem seu conjunto de parâmetros específicos\n",
    "    if distribuição == 'norm':\n",
    "        xlimite = (40,100)\n",
    "        arg['loc'] = 70.5\n",
    "        arg['scale'] = 8\n",
    "    elif distribuição == 'expon':\n",
    "        xlimite = (0,6)\n",
    "    elif distribuição == 't':\n",
    "        arg['df'] = 5\n",
    "        xlimite = (-4.5,4.5)\n",
    "    elif distribuição == 'chi2':\n",
    "        arg['df'] = 5\n",
    "        xlimite = (0,25)\n",
    "    elif distribuição == 'f':\n",
    "        arg['dfn'] = 5\n",
    "        arg['dfd'] = 7\n",
    "        xlimite = (0,25)\n",
    "    elif distribuição == 'gamma':\n",
    "        arg['a'] = 1\n",
    "        xlimite = (0,25)\n",
    "    elif distribuição == 'beta':\n",
    "        arg['a'] = 0.5\n",
    "        arg['b'] = 0.5\n",
    "        xlimite = (0,1)\n",
    "    elif distribuição == 'uniform':\n",
    "        xlimite = (10,20)\n",
    "        arg['loc'] = 10\n",
    "        arg['scale'] = 20-10\n",
    "    \n",
    "    # Valores populacionais\n",
    "    mu_true = func[distribuição].mean(**arg)\n",
    "    sigma2_true = func[distribuição].var(**arg)\n",
    "    \n",
    "    print(f'\\n\\nOUTPUT DA SIMULAÇÃO: \\n'\n",
    "          f'   Quando X ~ {distribuição} com tamanho da amostra igual a {n}, analise a distribuição da média amostral:')\n",
    "    \n",
    "    #Gerar n vetores de 1000 amostras cada\n",
    "    arg['size'] = size\n",
    "    Xb = func[distribuição].rvs(**arg)\n",
    "    for i in range(n-1):\n",
    "        Xb += func[distribuição].rvs(**arg)\n",
    "        \n",
    "    #Calcular a média\n",
    "    Xb = Xb / n\n",
    "    \n",
    "    #Prints\n",
    "    fig = plt.figure(figsize=(15,5))\n",
    "    \n",
    "    ax1 = fig.add_subplot(121)\n",
    "    ax2 = fig.add_subplot(122)\n",
    "    \n",
    "    #Histograma\n",
    "    pd.Series(Xb).hist(density=True, ax=ax1, bins=int(size / 50))\n",
    "        \n",
    "    #Fit e print da pdf\n",
    "    (mu, sigma) = stats.norm.fit(Xb)\n",
    "    x = np.arange(Xb.min(), Xb.max(), 0.01)\n",
    "    ax1.plot(x, stats.norm.pdf(x, loc = mu, scale=sigma))\n",
    "    ax1.set_title('Distribuição da Média Amostral')\n",
    "    ax1.set_xlim(xlimite)\n",
    "    \n",
    "    #QQ-Plot\n",
    "    stats.probplot(Xb, dist=stats.norm, sparams=(mu, sigma), plot=ax2)\n",
    "    \n",
    "    print0 = (f'CONCLUSÃO DA SIMULAÇÃO:')\n",
    "    print1 = (f'   Quando a média populacional for E(X)={mu_true:0.3f}, '\n",
    "              f'então a média das médias amostrais será E(Xbarra)={Xb.mean():0.3f} ')\n",
    "    print2 = (f'   Quando a variância populacional for Var(X)={sigma2_true:0.3f}, '\n",
    "              f'então a variância das médias amostrais será Var(Xbarra)={Xb.var():0.3f}')\n",
    "    \n",
    "    return print0, print1, print2\n",
    "                 "
   ]
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