Fourier-Transform

• Visualize and analyze the fourier transform result.
• Final project

Introduction

• 用 Python 實現傅立葉正(逆)轉換，並可視化結果。
• 傅立葉轉換目的 :了解原始訊號是由哪些頻率的cos,sin組成，將時域訊號轉換成頻域訊號觀看 (不同角度觀看數據)。
  • 濾波處理 : 當時域訊號非常雜亂複雜時，可以先進行正轉換取得頻域訊號，並針對感興趣的部分篩選，例如: 留下分量大的訊號，將分量小的頻號排除，再進行反轉換為時域訊號。

• 每個訊號都是sin, cos以不同頻率組成，因此FT轉換目的是要得知訊號由哪些頻率的sin, cos組成。

• FT轉換後，大致上會得到實部 (cos) 跟虛部 (sin)，因此做圖因該分為實部與虛部來畫。

• 如果signal裡面只含有cos訊號，則得到的FT頻域應當只含有實部，這也是在積分項evev(cos)*odd(sin)會為0的原因。

Method

例子 - 時域訊號及頻域解析解如下:

正轉換與逆轉換流程如下 (h為時域訊號；H為頻域訊號) :

Results

針對時域訊號進行不同採樣數量 (N=16, N=32, N=128)，並以不同採樣數量得數據進行正轉換，結果如下 : (時域訊號中的紅色點，為採樣點)

可以發現 N=16 的轉換結果較為不同 (與解析解不同)，主要是採樣點不足 (dt > 0.5) 導致 映頻效應(Aliasing)

逆轉換結果如下 :

Conclusion

• 採樣頻率(fs)需大於等於訊號最大頻率的2倍，才能建立完整訊號
• fs = 1/dt = N/T
• 例子中的訊號其最大頻率為 1，因此 fs 需大於等於 24
• 當 N = 16 時，不滿足條件，因此發生映頻效應
• fs 太小將無法抓取高頻訊號 ! 會將高頻訊號誤認為低頻訊號