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水文气象学–02基础的水文气象变量

孔冬冬，kongdongdong@cug.edu.cn 办公室：科教六楼307 中国地质大学大气科学系 · 武汉

:::footnote 2024-11-29 :::

QA

1. 夏天干燥还是冬天干燥？

2. 沿海地区与内陆地区水汽含量差别多大？

1. 大气的成分与垂直结构

1.1. 大气的成分

1.1.1. 干空气

1.1.2. 水汽

水汽是唯一能够发生相变的大气成分，常见的云、雾、雨、雪等天气现象，都是水汽相变的表现。

表1.4 各种温度和压强下的饱和比湿值

1.2. 大气的垂直结构

对流层

对流层顶的气压约为200hPa。因此，对流层的范围如果用气压表示，约为1000hPa~200hPa。

大气质量的3/4，水汽质量的9/10都在对流层。1.5～2km高度的水汽仅为地表的一半，5km高度的水汽是地表的1/10，再往上更少。

（1）温度随高度的增加而降低。

（2）对流运动明显。

（3）气象要素分布不均匀。

重点

850hPa: 地表风速、温度、水汽
500hPa: 大气环流形式
200hPa: 极涡、急流

平流层

对流层顶向上到50公里左右为平流层，平流层顶的气压约1hPa；

飞机飞行的位置；

温度随高度升高而升高。主要是由于臭氧的作用。臭氧吸收太阳紫外辐射，使大气温度增加。臭氧的分布决定了平流层温度的垂直分布。

2. 理想气体状态方程

2.1. 气压

气压：气体对某一点施加的流体静力压强，来源是大气层中空气的重力，即为单位面积上的大气压力。单位：帕斯卡，简称帕（Pa, 1 N/m2）。

在海平面的平均气压约为1013.25 hPa（76cm水银柱），这个值也被称为标准大气压（简称$1atm$）。

$$ p = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(m_d + m_v)g}{A} $$

$m_d$: 干空气的质量 $m_v$: 水汽的质量

通常所说的气压$p$，包含了干空气的气压和水汽的气压。

水汽的气压一般用符号$e$表示
干空气的气压为：$p - e$

应用：

静力平衡，热空气上升，冷空气下降。

联想物体在液体中的浮力，何时会上浮、何时会下沉？

2.1.1. 饱和水气压

饱和水汽压：指一定体积空气，在某一温度条件下所能容纳的最大水汽量所具有的压力，用$es$表示。

饱和水汽压随温度升高而升高，随温度降低而降低。

应用：

大气的横向运动
大气的垂向运动
- 上升运动：$T$下降，$es$下降，$RH$升高，易降水，云雨；（低压系统）
- 下沉运动：$T$升高，$es$上升，$RH$降低，不易降水，高温干旱；（低压系统）
迎风坡、背风坡

迎风坡降水（同时水汽从气态转化为液态，释放热量，背风坡气体温度偏高）
早晨露水
全球变暖背景下的极端事件

$$ es(T_a) = 0.6108 ;exp (\frac{17.27 T_a}{T_a + 237.3}) $$

$es(T_a)$：饱和水气压，kPa $T_a$：空气温度，℃ $\Delta$：$es(T_a)$的斜率

Reference

Allen, R., Pereira, L., Raes, D., & Smith, M. (1998). J. Hydrol., 285, 19–40.

2.2. 大气状态方程

根据大量的科学实验总结出，一切气体在压强不太大，温度不太低（远离绝对零度）的条件下，一定质量气体的压强和体积的乘积除以其绝对温度等于常数，即:

$$ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = ... = \frac{p_n V_n}{T_n} \\ \frac{p V}{T} = 常量 $$

$$ p V = n R^* T $$

$p$：气压($Pa$) $V$：体积($m^3$) $n$：气体物质的量($mol$) $T$：温度($K$) $R^*$：理想气体常数（也被称为普适气体常数）(J mol-1K-1 )

根据高中化学，标准状态下(273K,1atm) ，1mol气体的体积为22.4L，带入上述公式，可得：

$$ \begin{align*} R^* &= \frac{p V}{n T} \\ &= \frac{1.013 × 10^5 Pa × 22.4× 10^{-3} m^3 }{1mol × 273K} \\ &= 8.31 Pa·m^3 / (mol·K) = 8.31 J / (mol·K) \end{align*} $$

2.3. 理想气体状态方程的密度形式

$$ p V = \frac{m}{M} R^* T \\ % p \alpha =R T $$

$$ p = \rho \frac{R^}{M} T = \rho R T, (R = \frac{R^}{M}) \ $$

$M$：相对分子质量（g / mol）； $m$：气体的质量（g）； $R$: 为比气体常数（$J · g^{-1}K^{-1}$），$R=R^/M$； $R^$：$R^$为摩尔气体常数，$R^=8.314 J · mol ^{-1}K^{-1}$。

干空气与水汽的相对分子质量，分别用符号$R_d$和$R_v$来表示（下标$_d$表示dry，$_v$表示water）。

根据高中化学可知，$M_d = 28.97 g/mol, M_v = 18 g/mol$。带入上述公式，可得

对于干空气，$R_d = R^* / M_d = 8.314 / 28.97 = 0.287;(J ·g^{-1}K^{-1})$
对于水汽，$R_v = R^* / M_v = 8.314 / 18 = 0.4615 ;(J ·g^{-1}K^{-1})$

$$ \epsilon = \frac{R_d}{R_v} = \frac{M_v}{M_d} ≈ 0.622, \ \frac{R_v}{R_d} = \frac{1}{\epsilon} ≈ 1.608 $$

2.4. 空气密度与虚温

$$ \rho_d = \frac{p - e}{R_d T} \\ \rho_v = \frac{e}{R_v T} \\ $$

$$ \begin{align*} \rho &= \rho_d + \rho_v \\ &= \frac{p - e}{R_d T} + \frac{e}{R_v T} \end{align*} $$

把$R_v$替换掉（$R_v = \frac{1}{\epsilon} R_d$）

$$ \begin{align*} \rho &= \frac{p - e}{R_d T} + \frac{e}{R_v T} \\ &= \frac{p - e}{R_d T} + \frac{\epsilon e}{R_d T} \\ &= \frac{p - (1 - \epsilon)e }{R_d T} \\ &= \frac{p}{R_d T} (1 - 0.378 \frac{ e }{p}) \end{align*} $$

$p$：湿空气的总压强； $e$：水汽部分的压强（即前述的水汽压）； $p-e$：干空气的压强；

3. 基本气象要素

3.1. 水汽含量与湿度

混合比（mix ratio, $w$）

$$ w = \frac{m_v}{m_d} $$

比湿（specific humidity, $q$）

$$ q = \frac{m_v}{m_d + m_v} $$

绝对湿度（水汽密度, $X$）

$$ P = \rho R T, \\ X = \rho_v = \frac{e}{R_v T} = \frac{\epsilon e}{R_d T} $$

相对湿度（relative humidity, $RH$）

$$ RH = \frac{e}{es} $$

3.1.1. 小试牛刀：已知$e$, $P$求$q$

$$ \begin{align*} \rho_v &= \frac{e}{R_v T} = \frac{\epsilon e}{R_d T}, (R_v = \frac{R_d}{\epsilon}) \\ \rho_d &= \frac{p - e}{R_d T} \\ \end{align*} $$

答案：

$$ \begin{align*} q &= \frac{\rho_v}{\rho_d + \rho_v} \\ &= \frac{\epsilon e}{p - e + \epsilon e} = \frac{\epsilon e}{p - (1 - \epsilon)e} \end{align*} $$

https://cug-hydro.github.io/HydroTools.R/articles/vapour_press.html
https://github.com/CUG-hydro/HydroTools.R/blob/master/vignettes/vapour_press.Rmd

3.1.2. 水汽压与水汽密度

$$ \begin{align*} \rho_v &= \frac{e}{R_v T} = \frac{\epsilon e}{R_d T} \\ \rho &= \frac{p}{R T} \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \frac{e}{p} &= \frac{\rho_v}{\rho} \frac{R_v}{R} ≈ \frac{\rho_v}{\epsilon \rho} , (R_d ≈ R) \\ \end{align*} $$

$$ \rho_v ≈ \epsilon \rho \frac{e}{P} $$

a. 蒸发过程中，水汽压是贸易的货币。感热与潜热都先转化为水汽压，然后进行等价的交易。

b. 水汽密度不易求。因此，通常替换成空气密度。

应用：

干球温度与湿球温度的转换
水面蒸发

3.1.3. 气化潜热

气化潜热：单位质量的液体，从液态变为气态所需吸收的热量。

$$ \lambda = 2.5 - 0.0024 T_a, (MJ/kg) $$

单位的转化（重点）：MJ/kg -> mm

Q1: 地表单位面积上，$1mm$深的水，气化所需的能量？

Q2: 假设地表净辐射$R_n$为$100 W/m^2$，能量全部转化为蒸发，一天的蒸发量是多少？

Q3: 单位体积空气，已知空气密度$\rho$, $q_1$, $q_2$，写出LE的表达式

Q4: 与Q3相同，只是$q$换为$e$，已知$e_1$，$e_2$，写出LE的表达式
升华潜热，单位质量的液体，从固态变为气态所需吸收的热量。冰面温度−40℃ ~ 0℃时，升华潜热近似为常数。

$$

\lambda_s = 2.5 + 0.334, (MJ/kg) $$

3.1.4. 比热容$Cp$

:::block 比热容$Cp$：单位质量，温度升高1℃所需的能量。 :::

空气的比热容为$1.103×10^{-3} MJ kg^{-1} ℃^{-1}$。

$$ H = Cp * m * \Delta T $$

Q1: 单位体积空气，已知空气密度$\rho$, $T_1$, $T_2$，写出$H$的表达式

3.2. 温度

武汉市2003-2020夏季平均地温

MODIS卫星观测

Landsat

关于Landsat9卫星的九个小知识，https://www.bilibili.com/video/BV1rL4y18731
武汉市地表温度，https://code.earthengine.google.com/420e613268424caa78a375bfddd0890c

MODIS地表温度

3.2.1. 湿度计常数$\gamma$

从大气温度$T$→湿球温度$T'$过程中，水汽压从$e →es(T')$。蒸发所需能量全部来源于空气降温。

(a) 水汽浓度升高（$m_v' > m_v$）；潜热的变化：$\lambda E = \lambda (m_v' - m_v)$
(b) 空气温度下降（$T' < T$）。感热的变化：$H = \rho V c_p (T'-T)$

$$ \begin{align*} \lambda E + H &= 0 \\ \lambda (m_v' - m_v) + \rho V c_p (T'-T) &= 0 \\ \lambda (\rho_v' - \rho_v) + \rho c_p (T'-T) &= 0 \\ \lambda (\rho_v' - \rho_v) &= -\rho c_p (T'-T) \end{align*} $$

将干球温度($T$, $e$)和湿球温度($T'$, $es(T')$)的温度和水汽压带入：

Recall: $\rho_v ≈ \epsilon \rho \frac{e}{P}$

$$ \lambda (\rho_v' - \rho_v) = -\rho c_p (T'-T) $$

$$ \begin{align*} \lambda (\epsilon \rho \frac{e_s(T')}{P} - \epsilon \rho\frac{e}{P}) &= - \rho c_p (T'-T) \

\lambda \epsilon \rho ( \frac{e_s(T') - e}{P} ) &= - \rho c_p (T'-T) \

e_s(T') - e &= - \frac{c_p P}{\lambda \epsilon } (T'-T) \

e_s(T') - e &= - \gamma (T'-T), (\gamma = \frac{c_p P}{\lambda \epsilon }) \ \end{align*} $$

$\gamma$被称为湿度计常数，单位$℃/kPa$，表征的含义是：

在Rn=0的状态下，升温（降温）所需的能量全部来源于水汽液化（水的蒸发）。这种条件下，在温度升高1℃，水汽压的变化量。

实战

干球温度（$T_a$）、湿球温度（$T_w$）、露点温度（$T_a$）

$T_a - T_{dew}$较大说明什么？

直接体现饱和水汽压差(VPD)较大、RH较小
$T_a - T_w$较大说明什么？

直接体现蒸发降温的幅度较大，间接体现RH小。

https://www.tropicaltidbits.com/analysis/models/sounding/?model=ecmwf&runtime=2022111018&fh=24&lat=33.69&lon=114.43&stationID=&tc=&mode=regular

3.2.2. 水面蒸发

水汽充足：意味着最终都能达到饱和水汽压$e_s$

无外界供能下($\lambda E + H = 0$)： X -> Y点
有外界供能下： Y -> A点移动（A点左侧、右侧均有可能，看Rn的量级）。

3.2.3. 体感温度

炎热指数(heat index)
湿球温度（wet bulb）

3.3. 风速与风羽

风向：风吹来的方向（风从哪里来）。

风羽：包含风向杆、风矢（短：2m/s、长：4m/s）、风三角（20m/s）

a. 两长一短（9~10m/s）需警惕

b. $U_2$ -> $U_{10}$。气象场观测的一般是2米风速$U_2$，再分析资料一般提供的是10m风速$U_{10}$，请注意转换。

风速等级

https://www.tropicaltidbits.com/analysis/models/?model=gfs&region=ea&pkg=T850&runtime=2022111100&fh=-18

3.4. 降水

降水：包括降雨和降雪。

日降水：早8点~第二天的8点。

空气接近饱和（RH≈100%）才会产生降水

暴雨的分类：

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1. 夏天干燥还是冬天干燥？

2. 沿海地区与内陆地区水汽含量差别多大？

1. 大气的成分与垂直结构

1.1. 大气的成分

1.1.1. 干空气

1.1.2. 水汽

1.2. 大气的垂直结构

2. 理想气体状态方程

2.1. 气压

2.1.1. 饱和水气压

2.2. 大气状态方程

2.3. 理想气体状态方程的密度形式

2.4. 空气密度与虚温

3. 基本气象要素

3.1. 水汽含量与湿度

3.1.1. 小试牛刀：已知$e$, $P$求$q$

3.1.2. 水汽压与水汽密度

3.1.3. 气化潜热

3.1.4. 比热容$Cp$

3.2. 温度

武汉市2003-2020夏季平均地温

Landsat

MODIS地表温度

3.2.1. 湿度计常数$\gamma$

实战

3.2.2. 水面蒸发

3.2.3. 体感温度

3.3. 风速与风羽

风速等级

3.4. 降水

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1. 夏天干燥还是冬天干燥？

2. 沿海地区与内陆地区水汽含量差别多大？

1. 大气的成分与垂直结构

1.1. 大气的成分

1.1.1. 干空气

1.1.2. 水汽

1.2. 大气的垂直结构

2. 理想气体状态方程

2.1. 气压

2.1.1. 饱和水气压

2.2. 大气状态方程

2.3. 理想气体状态方程的密度形式

2.4. 空气密度与虚温

3. 基本气象要素

3.1. 水汽含量与湿度

3.1.1. 小试牛刀： 已知$e$, $P$求$q$

3.1.2. 水汽压与水汽密度

3.1.3. 气化潜热

3.1.4. 比热容$Cp$

3.2. 温度

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MODIS地表温度

3.2.1. 湿度计常数$\gamma$

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3.2.2. 水面蒸发

3.2.3. 体感温度

3.3. 风速与风羽

风速等级

3.4. 降水

3.1.1. 小试牛刀：已知$e$, $P$求$q$